Solutions
500
6.4 1) Il est facile de com plé ter le tableau ini tial par le cal cul de n(t), et celui de la mor ta lité
rela tive : p(t) 5
n(t 2 1) 2 n(t)
n(0)
5 P3t 2 1 , T # t4 ainsi que de la pro ba bi lité d’ava rie :
p c (t) 5 1 2
n(t)
n(t 2 1)
. 5 P3t 2 1 , T # t 0 T . t 2 14
où T est la variable aléatoire “durée de vie” d’un pneu.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
moins d'un mois
de 1 à 2 mois
de 2 à 3 mois
de 3 à 4 mois
de 4 à 5 mois
de 5 à 6 mois
de 6 à 7 mois
de 7 à 8 mois
de 8 à 9 mois
de 9 à 10 mois
de 10 à 11 mois
de 11 à 12 mois
de 12 à 13 mois
de 13 à 14 mois
Nombre de pneus
ayant duré
5
10
40
80
130
250
200
120
70
50
25
15
3
2
1000
995
985
945
865
735
485
285
165
95
45
20
5
2
0
0, 005
t
n(t)
p(t)
pc(t)
0, 010
0, 010
0, 040
0, 041
0, 080
0, 085
0, 130
0, 151
0, 250
0, 341
0, 413
0, 422
0, 435
0, 527
0, 556
0, 750
0, 600
1
0, 200
0, 120
0, 070
0, 050
0, 025
0, 015
0, 003
0, 002
0, 005
La durée de vie moyenne :
t 5 a
t51
t p t
vaut 6,62 mois.
On pour rait en déduire la consom ma tion moyenne (au bout d’un temps très long) :
1 000
6,62
5 151 pneus/mois.
2) On peut défi nir une chaîne de Markov homogène, de matrice M, telle que si Π(0)
repré sente la dis tri bu tion des âges à la date 0 :
P( 1) 5 P( 0) # M
P( 2) 5 P( 1) # M 5 P( 0) # M
2
…………………
P( n ) 5 P( 0) # M
n