Solu tions des exer cices du cha pitre 6
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Pour éva luer le second terme de V(t), on sup prime A ; on retrouve alors un pont simple, en
regroupant C et D qui sont en série, de même que F et G.
P3T . t 0 T A < t 4
53cde 1 f g h 2 cde f g h 4( 1 2 b ) 1 3cd 1 f g 2 cdf g 4 # 3cd 1 f g 2 cdf g 4 #
3e 1 h 2 e h 4 # b
(2)
Fina le ment V(t) est la somme des expres sions (1) et (2). Si v(t) 5 v pour cha cun des
8 com po sants, il vient V 5 v
3
(2 1 4v 2 10v
2 1 7v
3 1 12v
4 2 4v
5
).
Si v 5 1 (fia bi lité par faite), on obtient V 5 1 comme attendu. Si v 5 0, évi dem ment on
a V 5 0.
6.3 1) i  (t) # dt 5 P3t , X < t 1 dt 0 X .  4. Or P3A 0 B 4 5 P3A et B 4 / P3B 4.
Donc i  (t) # dt 5 P3t , X < t 1 dt 4 / P3X . 4 : car on sait qu’ici : t . .
Soit : i  ( t ) # dt 5 i( t ) # dt / v ( ) 5 2v r( t ) # dt / v ( ) .
r  5 E3X 2  0 X .  4 5 E3X 0 X . 4 2 
5 3
`

3t # i  ( t ) dt 4 2  5 3
`

v ( t ) # dt / v ( )
NB Si θ = 0, on retrouve r 0 5 t 5 3
`
0
n (t) # dt
2) Si v ( t ) 5 e
2t
, r  5 3
`

e
2 t # dt / e
2 5 B2
e
2t

R
`

^ e
2
soit :
r  5
  e
2

^ e
2 5
1

.
On retrouve la prop riété “sans mémoire” de la loi expo nen tielle : peu importe la durée de
vie écou lée, tout se passe comme si, à chaque ins tant, le maté riel était neuf et donc l’espé -
rance de la durée de vie rési duelle est égale à l’espé rance de la durée de vie depuis t = 0,
soit :
1

.