Solu tions des exer cices du cha pitre 5
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3)  La durée moyenne d’une phase 1 est 
1
v (puisque cette durée est régie par une loi expo ­
nen    tielle de taux ω).
1
v 5
20
3 600
 h, d’où :  ω = 180 h
–1
;
1
m 5
3
60
 h ,  d’où μ = 20 h
–1
.
Appli quons le théo rème des coupes à {E 0 }, puis à {E 1 } :
d
m # p
*
2 5 (l 1 a) # p
*
0
l # p
*
0 5 v # p
*
1
p
*
0 1 p
*
1 1 p
*
2 5 1
d’où: p
*
0
# B1 1
l
v 1
l 1 (a)
m
R 5 1 .
Numé ri que ment : p
*
0 5
60
79
, p
*
1 5
1
79
, p
*
2 5
18
79
.
La ligne est libre dans l’état E 0 , soit avec la pro ba bi lité en régime per manent : p
*
0 5
60
79
, soit
3 600 3
60
79
5 2 734 secondes par heure (soit envi ron 46 mn/h) : environ les 3/4 du temps.
5.12 1) On a, en tout, Ν = 4 ter    mi    naux ; il y a donc N + 1 = 5 états (E k , 0 < k < 4).
Le graphe des tran si tions entre t et t + dt est fini et for    te    ment connexe : le pro    ces    sus est 
fortement ergodique.
2) En notant p
*
i la probabilité de l’état E i en régime permanent :
p
*
1 5
2b
a
p
*
0 5 12p
*
0 , p
*
2 5
2b
2a
p
*
1 5 72p
*
0 , p
*
3 5
2b
3a
p
*
2 5 288p
*
0 , p
*
4 5
b
4a
p
*
3 5 432p
*
0 .
p
*
0
# (1 1 12 1 72 1 288 1 432) 5 1 d’où : p
*
0 5 1/805
et p
*
1 5
12
805
, p
*
2 5
72
805
, p
*
3 5
288
805
et p
*
4 5
432
805
.
3) r 5 1 # p
*
3 1 2p
*
4 5
288 1 864
805
5 1,4311 répa ra teurs inoc cu pés
r 5 4p
*
0 1 3p
*
1 1 2p
*
2 1 p
*
3 5
4 1 36 1 144 1 288
805
5 0,5863 ter mi naux en panne.
4) En tout N + S = 6 ter    mi    naux ; il y a donc 7 états (notés F k , 0 < k < 6)
a) graphe sim    pli    fié :