Solu tions des exer cices du cha pitre 5
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
2) P(3k) = [1, 0, 0] ; P(3k + 1) = [0, 1, 0] ; P(3k + 2) = [0, 0, l] .
On observe que P(n) oscille entre ces trois vec teurs, selon que n = 3k ou n = 3k + 1 ou
n = 3k + 2 : P(n) n’a pas de limite dans ce cas.
3) Avec ce choix très par ti cu lier de P(0), il vient :
B
1
3
1
3
1
3
R 5 P(0) 5 P(1) 5 P(2) 5 c 5 P( `)
ce vec teur de pro ba bi li
tés est un « point fixe » de M.
5.7 Indi ca tions. On a les équa tions carac té ris tiques res pec tives sui vantes :
1) (l 2 1)(l
3 1 0,4 l
2 1 0,23 1 0,038) 5 0 ;
2) (l 2 1)
2
(l
3 1 0,4 l
2 2 0,008) 5 0 ;
3) l (l 2 1)(l 1 1)(l
2 2 0,16) 5 0 ;
4) (l 2 1)(l
2 1 l 1 1) 5 0.
Dans le pre mier cas, outre les racines réelles 1 et –0, 2 c , et on a deux racines ima gi
naires : 20,1 1 0,3i "2 et 20,1 1 0,3i "2.
Dans le deuxième, toutes les racines sont réelles : 1 ; 1 ; –0,2 ; –0,1(1 1 "5) ;
–0,1(1 2 "5) ; 20,1 (1 2 "5). Noter que l 5 1 est racine double.
Dans le troi sième, les racines sont éga le ment réelles : 1 ; –1 ; 0,4 ; –0,4 et 0.
Dans le der nier cas, la seule racine réelle est : 1, les deux autres sont ima gi naires
conju guées : j 5 2
1
2
1 i
"3
2
et j
2 5 j 5 2
1
2
2 i
"3
2
. Le poly nôme carac té ris tique
est : l
3
– 1 = 0 ; ses racines sont les racines cubiques de l’unité, soit : 1, j et j
2
. Rap pe lons
que cette chaîne est pério dique, de période 3.
D’une manière géné rale, pour une chaîne de Markov com por tant une classe d’états
récur rents pério diques, (de période d), dans les racines de l’équa tion carac té ris tiques
figurent les racines d
ièmes
de l’unité : e
i.2kp/d
où : k = 0, 1, c , d – 1.
En outre, si une chaîne de Markov pos sède p classes d’états récur rents, l = 1 est racine
d’ordre p de l’équa tion carac té ris tique (c’est àdire que l’on peut mettre (l – 1)
p
en fac teur
dans cette équa tion).
5.8 1) p 4 (t) 5
(a t)
4
4!
# e
2 at
: car la lon gueur de l’inter valle [t, 2t] est t.
p 4 (2t) 5
(2 a t)
4
4!
# e
2 2at
: car la lon gueur de l’inter valle [3t, 5t] est 2t.
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2) P(3k) = [1, 0, 0] ; P(3k + 1) = [0, 1, 0] ; P(3k + 2) = [0, 0, l] .
On observe que P(n) oscille entre ces trois vec teurs, selon que n = 3k ou n = 3k + 1 ou
n = 3k + 2 : P(n) n’a pas de limite dans ce cas.
3) Avec ce choix très par ti cu lier de P(0), il vient :
B
1
3
1
3
1
3
R 5 P(0) 5 P(1) 5 P(2) 5 c 5 P( `)
ce vec teur de pro ba bi li
tés est un « point fixe » de M.
5.7 Indi ca tions. On a les équa tions carac té ris tiques res pec tives sui vantes :
1) (l 2 1)(l
3 1 0,4 l
2 1 0,23 1 0,038) 5 0 ;
2) (l 2 1)
2
(l
3 1 0,4 l
2 2 0,008) 5 0 ;
3) l (l 2 1)(l 1 1)(l
2 2 0,16) 5 0 ;
4) (l 2 1)(l
2 1 l 1 1) 5 0.
Dans le pre mier cas, outre les racines réelles 1 et –0, 2 c , et on a deux racines ima gi
naires : 20,1 1 0,3i "2 et 20,1 1 0,3i "2.
Dans le deuxième, toutes les racines sont réelles : 1 ; 1 ; –0,2 ; –0,1(1 1 "5) ;
–0,1(1 2 "5) ; 20,1 (1 2 "5). Noter que l 5 1 est racine double.
Dans le troi sième, les racines sont éga le ment réelles : 1 ; –1 ; 0,4 ; –0,4 et 0.
Dans le der nier cas, la seule racine réelle est : 1, les deux autres sont ima gi naires
conju guées : j 5 2
1
2
1 i
"3
2
et j
2 5 j 5 2
1
2
2 i
"3
2
. Le poly nôme carac té ris tique
est : l
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– 1 = 0 ; ses racines sont les racines cubiques de l’unité, soit : 1, j et j
2
. Rap pe lons
que cette chaîne est pério dique, de période 3.
D’une manière géné rale, pour une chaîne de Markov com por tant une classe d’états
récur rents pério diques, (de période d), dans les racines de l’équa tion carac té ris tiques
figurent les racines d
ièmes
de l’unité : e
i.2kp/d
où : k = 0, 1, c , d – 1.
En outre, si une chaîne de Markov pos sède p classes d’états récur rents, l = 1 est racine
d’ordre p de l’équa tion carac té ris tique (c’est àdire que l’on peut mettre (l – 1)
p
en fac teur
dans cette équa tion).
5.8 1) p 4 (t) 5
(a t)
4
4!
# e
2 at
: car la lon gueur de l’inter valle [t, 2t] est t.
p 4 (2t) 5
(2 a t)
4
4!
# e
2 2at
: car la lon gueur de l’inter valle [3t, 5t] est 2t.