Solutions
488
3
0
lim
nS`
M
2n11 5
1
2
4
3 0 1 2 4
0 0
22
60
35
60
3
60
0 0
22
60
35
60
3
60
1
6
5
6
0 0 0
1
6
5
6
0 0 0
1
6
5
6
0 0 0
Il n’y a donc pas, à prop    re   
ment par   
ler, de limite de M lorsque n tend vers l’infini.
5.6 1) M 5 D
0 1 0
0 0 1
1 0 0
T est une matrice dite de « per mu ta tion ».
Par récur rence : sup po sons que M
n
ait la forme don née dans l’énoncé ; mon trons que
M
n+1
a alors la forme ana logue :
M
n11 5 M
n # M 5 D
a n
a n21 a n11
a n11
a n
a n21
a n21 a n11
a n
T # D
0 1 0
0 0 1
1 0 0
T 5 D
a n11
a n
a n21
a n21 a n11
a n
a n
a n21 a n11
T
En remar quant que a n21 5 a n12 (car cos
2 p (n 2 1)
3
5 cos
2 p (n 1 1)
3
, puisque
2 p (n 1 2)
3
5
2 p (n 1 1)
3
1 2p et que cos x = cos(x + 2p) ), il vient :
M
n11 5 D
a n11
a n
a n12
a n12 a n11
a n
a n
a n12 a n11
T 5 D
a m
a m21 a m11
a m11
a m
a m21
a m21 a m11
a m
T , où m 5 n 1 1.
M
3k 5 D
1 0 0
0 1 0
0 0 1
T 5 I ; M
3k11 5 M 5 D
0 1 0
0 0 1
1 0 0
T ; M
3k12 5 D
0 0 1
1 0 0
0 1 0
T .