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On montre aisé ment que lim
nS`
D
n 5 0 (en effet, la pro ba bi lité – par tant d’un état tran ­
si    toire – de trou    ver le sys    tème dans un état tran    si    toire après n tran si tions tend vers 0 quand
n → ∞).
Pre nons la limite pour n → ∞ de chaque membre de : E n 5 E n21 # A 1 D
n21 # C.
Il vient, en posant E
* 5 lim
nS`
E
n
il vient : E
* 5 E
* # A 1 0, puisque lim
nS`
D
n 5 0 et que
lim
nS`
E n 5 lim
nS`
E n21 .
E
*
est aussi une matrice sto chas tique ; on peut donc poser :
E
* 5 D
e
*
1 1 2 e
*
1
e
*
2 1 2 e
*
2 T
e
*
4 1 2 e
*
4
; d’où D
e
*
1 1 2 e
*
1
e
*
2 1 2 e
*
2 T
e
*
4 1 2 e
*
4
= D
e
*
1 1 2 e
*
1
e
*
2 1 2 e
*
2 T
e
*
4 1 2 e
*
4
# B
0,2 0,8
0,4 0,6
R
D’où : e
*
1 5 0,2e
*
1 1 0,4(1 2 e
*
1 ) et e
*
1 5 1/3. De même, on trouve e
*
2 5 e
*
4 5 1/3.
Ainsi E
* 5 ≥
1/3 2/3
1/3 2/3
1/3 2/3
¥.
Fina le ment :
M
* 5 lim
nS `
M
n 5
0
3
1
2
4
G
0
3
1 2 4
1/3 2/3 0 0 0
1/3 2/3 0 0 0
1/3 2/3 0 0 0
1/3 2/3 0 0 0
1/3 2/3 0 0 0
W
Cette chaîne est “simplement ergodique” car elle comporte des états transitoires de
probabilité­limite nulle, et on a : Π (`) 5 31/3 2/3 0 0 04.
NB. Une prop riété ana logue peut être mon trée pour les matrices de la forme
B
A 
0 D
R, qui sont aussi décom po sables (ou « réduc tibles »).
5.5 Sur le graphe repré sen ta tif, on voit clai re ment que tout état
de e 1 (0 ou 3) est suivi d’un état de e 2 (1, 2 ou 4) ; cela veut dire
que le sys    tème oscille per   
pé    tuel    le    ment entre e 1 et e 2 .
La matrice M peut être sous la forme :