Solu tions des exer cices du cha pitre 5
485
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
Remarque. Plus géné ra le ment, les matrices sto chas tiques de la forme :
B
A 0
0 
R
où A et  sont des matrices car rées, se décom posent d’une manière ana logue ; c’est
pour quoi on les dit réduc tibles. On a évi dem ment :
B
A 0
0 
R
n
5 B
A
n
0
0 
n
R
car A et  sont des matrices sto chas tiques.
5.4 Dès que l’on a tracé le graphe repré sen ta tif, on
s’aper çoit qu’il comporte deux composantes fortement
connexes : le pas sage de tout état de l’ensemble d’états
tran si toire e 2 , à un état de l’ensemble des états récur rents
e 1 est pos sible, l’inverse ne l’étant pas.
Bien entendu, un ran ge ment conve nable des lignes et
colonnes de M fait appa raître aussi la prop riété :
0
3
M 5 1
2
4
G
0
3
1
2
4
0,2 0,8
0
0
0
0,4 0,6
0
0
0
0,1 0,3 0,2 0,3 0,1
0,2 0,1 0,1 0,5 0,1
0,2 0,1 0,1 0,2 0,4
W
0
3
M = 1
2
4
Plus géné ra le ment, toute matrice sto chas tique de la forme : B
A 0
C D
R est décom po sable
d’une manière ana logue. On a :
B
A 0
C D
R
n
5 B
A
n
0
E n D
n
R avec : E n 5 E n21 # A 1 D
n21 # C et E 1 5 C.
La matrice sto chas tique A a une limite A* lorsque n aug    mente indé    fi    ni    ment ; on a aussi : 
lim
nS`
D
n 5 0 ; comme la puis sance n
e
d’une matrice sto chas tique est encore une matrice sto ­
chas tique, si D
n
 → 0 lorsque n aug    mente indé    fi    ni    ment, E n est une matrice sto chas tique (la
somme des termes de cha cune de ses lignes égale à 1).
lim
nS ` B
0,2 0,8
0,4 0,6
R
n
5 B
1/3 2/3
1/3 2/3
R
Dans l’exemple pré cé dent A
* 5 lim A
n 5 lim
nS `
nS ` .
3
0,8
0,4
0,5
0,6
0,1
0,3
0,2
0,3
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,2
0,2
0,2
0,4
0,2
0
1
2
4