Solu tionS
Solu tionS deS exer ciceS du cha pitre 1
1.1 (1) entraîne : A + Β = 1 : (2) entraîne : C ! D 5 1 soit C # D 1 C # D 5 1 ; (3) est l’impli
ca tion : E 1 C, soit E 1 C 5 1 ; (4) entraîne A # D 1 A # D 5 1 ; (5) est l’impli ca tion
B 1 E et A, soit B 1 A # E 5 1.
Cha cune de ces équa tions boo léennes sera égale à 1 si et seule ment si leur pro duit est égal
à 1 :
(1) # (2) # (3) # (4) # (5) 5 1.
Il est plus rapide, en uti li sant l’associativité et la com mu ta ti vité du pro duit boo léen, de
cal cu ler comme suit ce pro duit :
(1) # (5) 5 1, soit (A 1 B) # (B 1 A # E) 5 1, entraîne A # B 1 A # E 5 1, c’est àdire
A # (B 1 E) 5 1 : A étant en fac teur du produit est néces sai re ment égal 1 ; alors (4) entraîne
D = 1 ; en repor tant dans (2), il vient C 5 1, soit C = 0 ; enfin en repor tant dans (3), il vient
E 5 1, soit E = 0, puis avec (5) B 5 1, soit B = 0.
La liste des cadeaux res pec tant les exi gences de ce joyeux bam bin (mais est ce bien rai
son nable ?) est asso ciée à A = D = 1 et B = C = E = 0 : elle com porte le jeu élec tro nique et le
Playmobil.
1.2 On intro duit les cinq variables boo léennes : D, S, T, I, C ; cha cune est égale à 1 si le per
son nage asso cié dit la vérité (ainsi D = 1 si le direc teur de sec teur dit la vérité), ou à 0 s’il
ment (alors D = 0, soit D 5 1).
Le dia logue com porte trois décla ra tions (et le début d’une qua trième, inter rom pue par le
géné ral), soit d 1 , d 2 et d 3 .
• d 1 entraîne : S # C # D 1 S # C # D 5 1.
• d 2 est plus com pli qué à coder :
– soit le direc teur et la sécré taire disent la vérité ; alors selon que l’ins pec teur dit la vérité ou,
au contraire, ment, il vient :
D # S # I # T 1 D # S # I # T 5 1
– soit le direc teur et la secré taire mentent tous deux :
D # S # I # T 1 D # S # I # T 5 1
mais pour que D # S # I # T, ou bien D # S # I # T, soit égal à 1, il fau drait avoir 3 des 4 variables
nulles et donc 3 men teurs ; or l’on sait qu’il y en a au plus 2 ...
On n’aura donc pas à tenir compte de cette rela tion.
Solu tionS deS exer ciceS du cha pitre 1
1.1 (1) entraîne : A + Β = 1 : (2) entraîne : C ! D 5 1 soit C # D 1 C # D 5 1 ; (3) est l’impli
ca tion : E 1 C, soit E 1 C 5 1 ; (4) entraîne A # D 1 A # D 5 1 ; (5) est l’impli ca tion
B 1 E et A, soit B 1 A # E 5 1.
Cha cune de ces équa tions boo léennes sera égale à 1 si et seule ment si leur pro duit est égal
à 1 :
(1) # (2) # (3) # (4) # (5) 5 1.
Il est plus rapide, en uti li sant l’associativité et la com mu ta ti vité du pro duit boo léen, de
cal cu ler comme suit ce pro duit :
(1) # (5) 5 1, soit (A 1 B) # (B 1 A # E) 5 1, entraîne A # B 1 A # E 5 1, c’est àdire
A # (B 1 E) 5 1 : A étant en fac teur du produit est néces sai re ment égal 1 ; alors (4) entraîne
D = 1 ; en repor tant dans (2), il vient C 5 1, soit C = 0 ; enfin en repor tant dans (3), il vient
E 5 1, soit E = 0, puis avec (5) B 5 1, soit B = 0.
La liste des cadeaux res pec tant les exi gences de ce joyeux bam bin (mais est ce bien rai
son nable ?) est asso ciée à A = D = 1 et B = C = E = 0 : elle com porte le jeu élec tro nique et le
Playmobil.
1.2 On intro duit les cinq variables boo léennes : D, S, T, I, C ; cha cune est égale à 1 si le per
son nage asso cié dit la vérité (ainsi D = 1 si le direc teur de sec teur dit la vérité), ou à 0 s’il
ment (alors D = 0, soit D 5 1).
Le dia logue com porte trois décla ra tions (et le début d’une qua trième, inter rom pue par le
géné ral), soit d 1 , d 2 et d 3 .
• d 1 entraîne : S # C # D 1 S # C # D 5 1.
• d 2 est plus com pli qué à coder :
– soit le direc teur et la sécré taire disent la vérité ; alors selon que l’ins pec teur dit la vérité ou,
au contraire, ment, il vient :
D # S # I # T 1 D # S # I # T 5 1
– soit le direc teur et la secré taire mentent tous deux :
D # S # I # T 1 D # S # I # T 5 1
mais pour que D # S # I # T, ou bien D # S # I # T, soit égal à 1, il fau drait avoir 3 des 4 variables
nulles et donc 3 men teurs ; or l’on sait qu’il y en a au plus 2 ...
On n’aura donc pas à tenir compte de cette rela tion.