12.5 Opti mi sation multi objec tif
439
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
Les contraintes x P X sont linéaires. Seule la fonc tion objec tif est non linéaire.
Ce pro gramme peut cepen dant être refor mulé de façon équi va lente par le pro gramme
linéaire sui vant :
d
min
s.c.
> l j (z j 2 c
j # x) (j 5 1, c, p)
x P X
En effet, on intro duit ici une nou velle variable µ que l’on contraint à prendre
une valeur supé rieure à cha cun des p argu ments du max (dans la for mule
max j51,c,p 5l j (z j 2 c
j # x)6). Cette variable étant minimi sée, elle repré sente bien le
maxi mum de ces argu ments.
Sou li gnons fina le ment que ces méthodes fon dées sur des points d’aspi ra tion
sont uti li sées le plus sou vent de façon inter ac tive. Ainsi, l’uti li sa teur fixe un pre
mier point d’aspi ra tion. Obser vant la réponse du modèle, il ajuste ses pré fé rences en
fixant un second point d’aspi ra tion. Il pour suit ainsi son explo ra tion de l’ensemble
des solu tions effi caces, appré hen dant de mieux en mieux les solu tions can di dates
inté res santes. Ce pro ces sus inter ac tif se ter mine lors qu’il estime avoir trouvé un bon
com pro mis.
Exemple 3 « Plan de pro duc tion » (fin)
Sup po sons que le déci deur, au vu des infor ma tions four nies par le tableau des gains
(cf. tableau 12.7), décide de fixer un pre mier point d’aspi ra tion z
1 5 (30, 2 10).
Ces niveaux cor res pondent, sur le cri tère éco no mique, à une valeur sou hai tée pour
la marge totale égale à 300 000 € et, sur le cri tère éco lo gique, à une consom ma tion
sou hai tée de matière toxique égale à M 1 de 10 uni tés.
Les poids à uti li ser sont l 1 5
1
z
*
1 2 n 1
5
1
42
et l 2 5
1
z
*
2 2 n 2
5
1
30
. Le pro
gramme linéaire à résoudre est alors :
i
min
s.c.
>
1
42
(30 2 (2x 1 1 3x 2 ))
>
1
30
(210 2 (2x 1 2 3x 2 ))
x 1 1 4x 2 < 40
3x 1 1 2x 2 < 60
x 1
> 4
x 1 , x 2 > 0
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
Les contraintes x P X sont linéaires. Seule la fonc tion objec tif est non linéaire.
Ce pro gramme peut cepen dant être refor mulé de façon équi va lente par le pro gramme
linéaire sui vant :
d
min
s.c.
> l j (z j 2 c
j # x) (j 5 1, c, p)
x P X
En effet, on intro duit ici une nou velle variable µ que l’on contraint à prendre
une valeur supé rieure à cha cun des p argu ments du max (dans la for mule
max j51,c,p 5l j (z j 2 c
j # x)6). Cette variable étant minimi sée, elle repré sente bien le
maxi mum de ces argu ments.
Sou li gnons fina le ment que ces méthodes fon dées sur des points d’aspi ra tion
sont uti li sées le plus sou vent de façon inter ac tive. Ainsi, l’uti li sa teur fixe un pre
mier point d’aspi ra tion. Obser vant la réponse du modèle, il ajuste ses pré fé rences en
fixant un second point d’aspi ra tion. Il pour suit ainsi son explo ra tion de l’ensemble
des solu tions effi caces, appré hen dant de mieux en mieux les solu tions can di dates
inté res santes. Ce pro ces sus inter ac tif se ter mine lors qu’il estime avoir trouvé un bon
com pro mis.
Exemple 3 « Plan de pro duc tion » (fin)
Sup po sons que le déci deur, au vu des infor ma tions four nies par le tableau des gains
(cf. tableau 12.7), décide de fixer un pre mier point d’aspi ra tion z
1 5 (30, 2 10).
Ces niveaux cor res pondent, sur le cri tère éco no mique, à une valeur sou hai tée pour
la marge totale égale à 300 000 € et, sur le cri tère éco lo gique, à une consom ma tion
sou hai tée de matière toxique égale à M 1 de 10 uni tés.
Les poids à uti li ser sont l 1 5
1
z
*
1 2 n 1
5
1
42
et l 2 5
1
z
*
2 2 n 2
5
1
30
. Le pro
gramme linéaire à résoudre est alors :
i
min
s.c.
>
1
42
(30 2 (2x 1 1 3x 2 ))
>
1
30
(210 2 (2x 1 2 3x 2 ))
x 1 1 4x 2 < 40
3x 1 1 2x 2 < 60
x 1
> 4
x 1 , x 2 > 0