Chapitre 12 • Intro duc tion à l’aide multi cri tère à la déci sion
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il existe une infi nité de jeux de poids qui per mettent de les faire appa raître comme
solu tion opti male d’une somme pon dé rée. Ces solu tions effi caces extrêmes sont donc
rela ti ve ment faciles à faire appa raître. En revanche, l’infi nité de solu tions effi caces
non extrêmes qui se trouvent sur une arête (ou plus géné ra le ment à l’inté rieur d’une
facette) du polyèdre peuvent certes appa raître opti males, mais cha cune pour un jeu
de poids unique seule ment. Ainsi, l’ensemble des vec teurs cri tères non domi nés situés
sur le seg ment ]z
d
, z
c
[ appa raissent comme solu tions opti males (mul tiples) d’un seul
jeu de poids (en l’occur rence l 1 5
7
12
, l 2 5
15
12
). Il appa raît fort peu vrai sem blable
de faire expri mer ce jeu de poids par ti cu lier à un déci deur! De plus, même si l’on y
par ve nait, la réso lu tion du pro gramme linéaire qui en résul te rait ne per met trait pas
d’explo rer fine ment l’infi nité de solu tions opti males ; les algo rithmes de réso lu tion
tels que l’algorithme du sim plexe ne don ne raient d’ailleurs comme solu tion opti -
male que l’un des deux som mets c ou d…
Nous consta tons donc que les solu tions effi caces non extrêmes sont très dif fi ciles
à explo rer à l’aide d’une somme pon dé rée. Pour tant ces solu tions ne sont pas moins
inté res santes que les solu tions effi caces extrêmes. Nous nous fixons donc comme but
de pou voir explo rer l’ensemble de toutes les solu tions effi caces, et ceci sans devoir
résoudre des pro blèmes plus com plexes que des pro grammes linéaires.
12.5.5 Méthodes fon dées sur des points d’aspi ra tion
Dans ce type de méthodes, le déci deur doit four nir de l’infor ma tion pré fé ren
tielle s’expri mant sous forme de niveaux d’aspi ra tion sur cha cun des cri tères. Ces
niveaux d’aspi ra tion cor res pondent, pour chaque cri tère, à des valeurs sou hai tées
par le déci deur. Soit donc z j la valeur sou hai tée sur le j
ème
cri tère (j 5 1, c, p) et
z 5 (z 1 , c, z p ) le point d’aspi ra tion asso cié.
Nous allons chercher à déter mi ner, dans l’espace des cri tères, le point non dominé
le plus « proche » pos sible de ce point d’aspi ra tion z. Autre ment dit, nous allons pro
je ter z sur la fron tière des points non domi nés. Pour ce faire, nous allons résoudre le
pro blème sui vant for mulé dans l’espace des cri tères (rap pe lons que Z A est l’ensemble
des points admis sibles dans cet espace) :
min
z P Z A
max
j51,c,p
5l j (z j 2 z j )6
où : z 5 (z 1 , c,z j , c,z p )
Il reste main te nant à déter mi ner la valeur des zpoids l j . Ces poids visant à nor
ma li ser les écarts z j 2 z j , nous allons fixer l j 5
1
z
*
j 2 n j
(j 5 1, c, p). La réso
lu tion du pro blème pré cé dent en uti li sant ce choix de valeur des poids revient,
géométriquement, à pro je ter z sur la fron tière des points non domi nés selon la direc
tion indi quée par les points z
*
(zenith) et n (nadir), c’estàdire parallèlement à la
droite joignant z
*
et n.
Dans l’espace des déci sions, le pro blème pré cé dent s’écrit :
min
X P X
max
j51,c, p
5l j (z j 2 c
j # x)6
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il existe une infi nité de jeux de poids qui per mettent de les faire appa raître comme
solu tion opti male d’une somme pon dé rée. Ces solu tions effi caces extrêmes sont donc
rela ti ve ment faciles à faire appa raître. En revanche, l’infi nité de solu tions effi caces
non extrêmes qui se trouvent sur une arête (ou plus géné ra le ment à l’inté rieur d’une
facette) du polyèdre peuvent certes appa raître opti males, mais cha cune pour un jeu
de poids unique seule ment. Ainsi, l’ensemble des vec teurs cri tères non domi nés situés
sur le seg ment ]z
d
, z
c
[ appa raissent comme solu tions opti males (mul tiples) d’un seul
jeu de poids (en l’occur rence l 1 5
7
12
, l 2 5
15
12
). Il appa raît fort peu vrai sem blable
de faire expri mer ce jeu de poids par ti cu lier à un déci deur! De plus, même si l’on y
par ve nait, la réso lu tion du pro gramme linéaire qui en résul te rait ne per met trait pas
d’explo rer fine ment l’infi nité de solu tions opti males ; les algo rithmes de réso lu tion
tels que l’algorithme du sim plexe ne don ne raient d’ailleurs comme solu tion opti -
male que l’un des deux som mets c ou d…
Nous consta tons donc que les solu tions effi caces non extrêmes sont très dif fi ciles
à explo rer à l’aide d’une somme pon dé rée. Pour tant ces solu tions ne sont pas moins
inté res santes que les solu tions effi caces extrêmes. Nous nous fixons donc comme but
de pou voir explo rer l’ensemble de toutes les solu tions effi caces, et ceci sans devoir
résoudre des pro blèmes plus com plexes que des pro grammes linéaires.
12.5.5 Méthodes fon dées sur des points d’aspi ra tion
Dans ce type de méthodes, le déci deur doit four nir de l’infor ma tion pré fé ren
tielle s’expri mant sous forme de niveaux d’aspi ra tion sur cha cun des cri tères. Ces
niveaux d’aspi ra tion cor res pondent, pour chaque cri tère, à des valeurs sou hai tées
par le déci deur. Soit donc z j la valeur sou hai tée sur le j
ème
cri tère (j 5 1, c, p) et
z 5 (z 1 , c, z p ) le point d’aspi ra tion asso cié.
Nous allons chercher à déter mi ner, dans l’espace des cri tères, le point non dominé
le plus « proche » pos sible de ce point d’aspi ra tion z. Autre ment dit, nous allons pro
je ter z sur la fron tière des points non domi nés. Pour ce faire, nous allons résoudre le
pro blème sui vant for mulé dans l’espace des cri tères (rap pe lons que Z A est l’ensemble
des points admis sibles dans cet espace) :
min
z P Z A
max
j51,c,p
5l j (z j 2 z j )6
où : z 5 (z 1 , c,z j , c,z p )
Il reste main te nant à déter mi ner la valeur des zpoids l j . Ces poids visant à nor
ma li ser les écarts z j 2 z j , nous allons fixer l j 5
1
z
*
j 2 n j
(j 5 1, c, p). La réso
lu tion du pro blème pré cé dent en uti li sant ce choix de valeur des poids revient,
géométriquement, à pro je ter z sur la fron tière des points non domi nés selon la direc
tion indi quée par les points z
*
(zenith) et n (nadir), c’estàdire parallèlement à la
droite joignant z
*
et n.
Dans l’espace des déci sions, le pro blème pré cé dent s’écrit :
min
X P X
max
j51,c, p
5l j (z j 2 c
j # x)6