12.5 Opti mi sation multi objec tif
437
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
Fig. 12.8 Point idéal z
* et point nadir n – Exemple 3
12.5.3 Solu tions effi caces extrêmes et non extrêmes
Afin de gui der le choix d’une solu tion de meilleur com pro mis, on pour rait, mal
gré les limites sou li gnées en sec tion 12.3.3, uti li ser une fonc tion d’agré ga tion de
type somme pon dé rée. Ceci revien drait à maxi mi ser une fonc tion objec tif de type
a
p
j51
l j z j , ce qui pré sen te rait l’avan tage de n’avoir à résoudre qu’un pro gramme
linéaire. De plus, dans le cas par ti cu lier de la pro gram ma tion linéaire multi objec tif,
l’une des limites essen tielles de la somme pon dé rée (celle qui exprime que cer taines
solu tions effi caces ne peuvent pas appa raître comme solu tion opti male d’une somme
pon dé rée – cf. remarque 3 de la sec tion 12.3.3) ne s’applique pas. Ceci tient au fait
que l’image de l’ensemble des solu tions dans l’espace des cri tères est un ensemble
convexe (ce qui n’était pas le cas de notre exemple pré senté en figure 12.2). Nous
mon trons cepen dant sur notre exemple que l’uti li sation de la somme pon dé rée n’est
guère adap tée.
Exemple 3 « Plan de pro duc tion » (suite)
Nous avons observé pré cé dem ment que l’ensemble des solu tions effi caces cor res
pond à l’ensemble des points situés sur les seg ments [z
a
, z
d
] et [z
d
, z
c
] (cf. figure
12.8). Il est clair que cha cun de ces points peut appa raître comme solu tion opti male
d’une somme pon dé rée l 1 z 1 1 l 2 z 2 pour un jeu de poids par ti cu lier (l 1 ,l 2 ). Pour
les solu tions effi caces cor res pon dant à des som mets du polyèdre – à savoir a, c et d
dont les images res pec tives dans l’espace des cri tères sont les som mets z
a
, z
c
et z
d
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
Fig. 12.8 Point idéal z
* et point nadir n – Exemple 3
12.5.3 Solu tions effi caces extrêmes et non extrêmes
Afin de gui der le choix d’une solu tion de meilleur com pro mis, on pour rait, mal
gré les limites sou li gnées en sec tion 12.3.3, uti li ser une fonc tion d’agré ga tion de
type somme pon dé rée. Ceci revien drait à maxi mi ser une fonc tion objec tif de type
a
p
j51
l j z j , ce qui pré sen te rait l’avan tage de n’avoir à résoudre qu’un pro gramme
linéaire. De plus, dans le cas par ti cu lier de la pro gram ma tion linéaire multi objec tif,
l’une des limites essen tielles de la somme pon dé rée (celle qui exprime que cer taines
solu tions effi caces ne peuvent pas appa raître comme solu tion opti male d’une somme
pon dé rée – cf. remarque 3 de la sec tion 12.3.3) ne s’applique pas. Ceci tient au fait
que l’image de l’ensemble des solu tions dans l’espace des cri tères est un ensemble
convexe (ce qui n’était pas le cas de notre exemple pré senté en figure 12.2). Nous
mon trons cepen dant sur notre exemple que l’uti li sation de la somme pon dé rée n’est
guère adap tée.
Exemple 3 « Plan de pro duc tion » (suite)
Nous avons observé pré cé dem ment que l’ensemble des solu tions effi caces cor res
pond à l’ensemble des points situés sur les seg ments [z
a
, z
d
] et [z
d
, z
c
] (cf. figure
12.8). Il est clair que cha cun de ces points peut appa raître comme solu tion opti male
d’une somme pon dé rée l 1 z 1 1 l 2 z 2 pour un jeu de poids par ti cu lier (l 1 ,l 2 ). Pour
les solu tions effi caces cor res pon dant à des som mets du polyèdre – à savoir a, c et d
dont les images res pec tives dans l’espace des cri tères sont les som mets z
a
, z
c
et z
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