12.3 La somme pon dé rée
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
– les fonc tions d’agré ga tion, telles que la somme pondérée.
– les rela tions de pré fé rence glo bale telles que la méthode ELECTRE.
12.3 la somme pon dé rée
12.3.1 Pré sen ta tion
La façon la plus natu relle d’agré ger dif fé rents cri tères est de recou rir à une somme
pon dé rée. Il s’agit alors de construire un cri tère unique g agré geant les p cri tères
g 1 , c, g p . L’éva lua tion de toute action a P A est don née par :
g(a) 5 a
p
j51
l j # g j (a) avec l j . 0 (j 5 1, c, p) (et, éven tuel le ment, a
p
j51
l j 5 1)
où l j est le « poids » asso cié au cri tère g j (j 5 1, c, p).
Dans un contexte de choix, il suf fit alors de sélec tion ner l’action a
*
telle que :
g(a
*
) > g(a) 4a P A
c’estàdire l’action dont l’évaluation, au sens de g, est la meilleure.
12.3.2 Avan tages de la somme pon dé rée
1. Il s’agit de la façon la plus connue et la plus simple d’agré ger dif fé rents cri tères.
2. Toute solu tion opti male selon une somme pon dé rée est effi cace :
En effet, soit a
*
une solu tion opti male pour un jeu de poids par ti cu lier (lr 1 , c, lr p ).
Sup po sons que a
*
ne soit pas effi cace. Il existerait alors b P A telle que bDa
*
.
On a alors a
p
j51
lr j g j (b) . a
p
j51
lr j g j (a
*
); puisque pour tout j on aurait :
g j (b) > g j (a), ce qui contre dit l’optimalité de a
*
.
12.3.3 Limites de la somme pon dé rée
1. L’inter pré ta tion des poids n’est pas très claire car ils intègrent à la fois la notion
d’impor tance rela tive des cri tères et un fac teur de nor ma li sa tion des échelles des cri
tères. Un poids plus élevé ne cor res pond donc pas néces sai re ment à un cri tère plus
impor tant, comme l’illustrent les exemples cidessous.
Exemple 2 « Choix d’un loge ment » (suite)
Sup po sant que les cri tères Prix (g 1 ) et Temps de tra jet (g 2 ) soient jugés d’impor
tance sem blable et que le cri tère Super fi cie (g 3 ) soit consi déré deux fois moins
impor tant. Com ment tra duire cette infor ma tion pré fé ren tielle par un jeu de
poids ? L’intui tion natu relle consis tant à attri buer une valeur iden tique à cha
cun des deux pre miers cri tères et une valeur deux fois plus petite au troi sième
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
– les fonc tions d’agré ga tion, telles que la somme pondérée.
– les rela tions de pré fé rence glo bale telles que la méthode ELECTRE.
12.3 la somme pon dé rée
12.3.1 Pré sen ta tion
La façon la plus natu relle d’agré ger dif fé rents cri tères est de recou rir à une somme
pon dé rée. Il s’agit alors de construire un cri tère unique g agré geant les p cri tères
g 1 , c, g p . L’éva lua tion de toute action a P A est don née par :
g(a) 5 a
p
j51
l j # g j (a) avec l j . 0 (j 5 1, c, p) (et, éven tuel le ment, a
p
j51
l j 5 1)
où l j est le « poids » asso cié au cri tère g j (j 5 1, c, p).
Dans un contexte de choix, il suf fit alors de sélec tion ner l’action a
*
telle que :
g(a
*
) > g(a) 4a P A
c’estàdire l’action dont l’évaluation, au sens de g, est la meilleure.
12.3.2 Avan tages de la somme pon dé rée
1. Il s’agit de la façon la plus connue et la plus simple d’agré ger dif fé rents cri tères.
2. Toute solu tion opti male selon une somme pon dé rée est effi cace :
En effet, soit a
*
une solu tion opti male pour un jeu de poids par ti cu lier (lr 1 , c, lr p ).
Sup po sons que a
*
ne soit pas effi cace. Il existerait alors b P A telle que bDa
*
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On a alors a
p
j51
lr j g j (b) . a
p
j51
lr j g j (a
*
); puisque pour tout j on aurait :
g j (b) > g j (a), ce qui contre dit l’optimalité de a
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12.3.3 Limites de la somme pon dé rée
1. L’inter pré ta tion des poids n’est pas très claire car ils intègrent à la fois la notion
d’impor tance rela tive des cri tères et un fac teur de nor ma li sa tion des échelles des cri
tères. Un poids plus élevé ne cor res pond donc pas néces sai re ment à un cri tère plus
impor tant, comme l’illustrent les exemples cidessous.
Exemple 2 « Choix d’un loge ment » (suite)
Sup po sant que les cri tères Prix (g 1 ) et Temps de tra jet (g 2 ) soient jugés d’impor
tance sem blable et que le cri tère Super fi cie (g 3 ) soit consi déré deux fois moins
impor tant. Com ment tra duire cette infor ma tion pré fé ren tielle par un jeu de
poids ? L’intui tion natu relle consis tant à attri buer une valeur iden tique à cha
cun des deux pre miers cri tères et une valeur deux fois plus petite au troi sième