10.5 Les résul tats (sor ties) d’une simu la tion et ana lyse sta tistique
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
m t 5
a
n
j 51
X( t j ) # ( t j 2 t j 2 1 )
t n 2 t 0
Selon le théo rème de la limite cen trale, la variable
m 2 m
s/"n
suit une loi nor male
1(0, 1) lorsque n → ∞ (en pra tique il suf fit de prendre n . 30).
Soit δ la pro ba bi lité (choisie) que cette variable soit comprise entre –ε et +ε, où
ε est à déter mi ner :
PB 2 e ,
m 2 m
s/"n
, 1e R > d .
En consul tant une table de la loi nor male pour δ 5 0,95 on trouve ε 5 1,96.
La pro ba bi lité que le para mètre à esti mer appar tienne à l’inter valle ainsi défini
est égale à δ :
PB m 2
e s
"n
, m , m 2
e s
"n
R 5 d .
On peut noter l’ana lo gie de la notion d’inter valle de confiance avec la notion de
“cal cul d’erreur” dans les mesures phy siques.
Le pro blème géné ral posé dans toute simu la tion sto chas tique est celui de la
construc tion d’estimateurs conver gents des gran deurs à mesu rer, avec des inter valles
de confiance d’une pré ci sion satis faisante. En outre, comme dans toute expé rience
d’échan tillon nage, afin qu’un estimateur converge avec une pré ci sion d’un niveau
accep table, la taille de l’échan tillon doit être aug men tée. En effet, comme le montre
la for mule ci dessus, la pré ci sion est inver se ment pro por tion nelle à la racine car
rée de la taille de l’échan tillon d’obser va tions, soit "n ; pour réduire la lar geur de
l’inter valle de 10 (c’est àdire que pour gagner un fac teur de 10 sur la pré ci sion des
résul tats, on doit mul ti plier par 100 le nombre d’obser va tions !).
10.5.5 Les tech niques de réduc tion de variance
Les tech niques dites de « réduc tion de variance » sont déve lop pées pour réduire les
coûts d’échan tillon nage. Leur uti li sation per met de conver ger plus vite et d’obte nir
des résul tats concluants sans pour autant aug men ter la taille de l’échan tillon.
L’uti li sation de l’une de ces tech niques, « l’échan tillon nage pré fé ren tiel »
(« impor tance sampling »), est bien connue dans la simu la tion de sys tèmes com
por tant des évé ne ments très rares qui ne se pro duisent que très peu ou pra ti que
ment jamais en cours de simu la tion. Le prin cipe consiste à aug men ter la pro ba bi
lité d’appa ri tion de ces évé ne ments en cours de simu la tion, de façon à ce qu’ils
aient la même chance de se pro duire que les autres. L’estimateur construit à par tir
des obser va tions ainsi pré le vées est cor rigé ensuite par un coef fi cient qui est le rap
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Selon le théo rème de la limite cen trale, la variable
m 2 m
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suit une loi nor male
1(0, 1) lorsque n → ∞ (en pra tique il suf fit de prendre n . 30).
Soit δ la pro ba bi lité (choisie) que cette variable soit comprise entre –ε et +ε, où
ε est à déter mi ner :
PB 2 e ,
m 2 m
s/"n
, 1e R > d .
En consul tant une table de la loi nor male pour δ 5 0,95 on trouve ε 5 1,96.
La pro ba bi lité que le para mètre à esti mer appar tienne à l’inter valle ainsi défini
est égale à δ :
PB m 2
e s
"n
, m , m 2
e s
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R 5 d .
On peut noter l’ana lo gie de la notion d’inter valle de confiance avec la notion de
“cal cul d’erreur” dans les mesures phy siques.
Le pro blème géné ral posé dans toute simu la tion sto chas tique est celui de la
construc tion d’estimateurs conver gents des gran deurs à mesu rer, avec des inter valles
de confiance d’une pré ci sion satis faisante. En outre, comme dans toute expé rience
d’échan tillon nage, afin qu’un estimateur converge avec une pré ci sion d’un niveau
accep table, la taille de l’échan tillon doit être aug men tée. En effet, comme le montre
la for mule ci dessus, la pré ci sion est inver se ment pro por tion nelle à la racine car
rée de la taille de l’échan tillon d’obser va tions, soit "n ; pour réduire la lar geur de
l’inter valle de 10 (c’est àdire que pour gagner un fac teur de 10 sur la pré ci sion des
résul tats, on doit mul ti plier par 100 le nombre d’obser va tions !).
10.5.5 Les tech niques de réduc tion de variance
Les tech niques dites de « réduc tion de variance » sont déve lop pées pour réduire les
coûts d’échan tillon nage. Leur uti li sation per met de conver ger plus vite et d’obte nir
des résul tats concluants sans pour autant aug men ter la taille de l’échan tillon.
L’uti li sation de l’une de ces tech niques, « l’échan tillon nage pré fé ren tiel »
(« impor tance sampling »), est bien connue dans la simu la tion de sys tèmes com
por tant des évé ne ments très rares qui ne se pro duisent que très peu ou pra ti que
ment jamais en cours de simu la tion. Le prin cipe consiste à aug men ter la pro ba bi
lité d’appa ri tion de ces évé ne ments en cours de simu la tion, de façon à ce qu’ils
aient la même chance de se pro duire que les autres. L’estimateur construit à par tir
des obser va tions ainsi pré le vées est cor rigé ensuite par un coef fi cient qui est le rap
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