Chapitre 10 • Simulation
392
Plus géné ra le ment à un nombre pseudo aléatoire U i uni for mé ment réparti cor res
pond le nombre X i 5 F
21
(U i ) sui vant la loi F(X).
Voici un autre exemple illus trant le cas d’une loi de pro ba bi lité inver sible, celui
de la loi uni forme sur l’inter valle [a, b], de den sité de pro ba bi lité f (X) 5 l/(b 2 a).
Sa fonc tion de répar tition est :
F (X) 5 (X 2 a)/(b 2 a)
a < X < b
F (X) 5 0
X , a
F (X) 5 1
X . b
Connais sant U, il est facile d’en déduire X : X 5 F
21
(U) 5 a 1 U # (b 2 a).
La forme ana ly tique de F(X) n’est pas tou jours inver sible. Cepen dant, F(X) pour
cer taines lois de pro ba bi lité est obte nue par com bi nai son d’autres lois. C’est le cas,
par exemple, de la loi nor male et de toutes les lois qui dérivent de la loi expo nen tielle
(la loi hyper exponentielle, la loi de Cox, la loi d’Erlang).
• Lois dont la défi ni tion est obte nue par com bi nai son d’autres lois
D’après le théo rème de la limite cen trale, la somme de n variables indé pen dantes
de même loi de moyenne
(1) m et d’écart type s converge vers une loi nor male
de moyenne
(1)
nm et de variance ns
2
lorsque n tend vers l’infini. Si l’on prend n
nombres pseudoaléatoires u i uni for mé ment dis tri bués dans [0, 1], alors on sait qu’en
posant :
X 5
a
n
i 51
u i 2 nm
s # "n
, que X suit une loi nor male cen trée réduite.
Pour une loi nor male de moyenne
(1)
m et d’écart type s, on déduit un échan tillon
arti fi ciel : Y k (k 5 1, 2, c ) par : Υ k 5 X k # s 1 m, où X k (k 5 1, 2, c ) est l’échan tillon
arti fi ciel obtenu ci des sus.
10.4 un exemple de Simu la tion
Nous nous limi te rons, dans un but didac tique, à un exemple de petite taille. Pre nons
l’exemple d’un sys tème infor ma tique com por tant un ser veur qui traite des requêtes
de dif fé rents clients dans l’ordre d’arri vée (PAPS : pre mier arrivé, pre mier au ser
vice). Le but de la simu la tion du modèle
(2)
de ce sys tème est d’étu dier la charge du
ser veur, le nombre de requêtes en attente d’être trai tées et aussi la durée moyenne
d’attente d’un client. On sup pose que les requêtes arrivent toutes les 1 minute dans
30 % des cas, toutes les 2 minutes dans 45 % des cas et toutes les 3 minutes dans les
autres cas. La durée de trai te ment est de 1 minute dans 15 % des cas, de 2 minutes
dans 25 %, de 3 minutes dans 35 % des cas et de 4 minutes dans les autres cas.
(1) Stricto sensu on devrait dire : espérance mathématique.
(2) Si les arrivées des requêtes suivent une loi de Poisson et les traitements, une loi exponentielle
on a affaire à la file M / M / 1 : cf 7.3, qu’on peut étudier analytiquement.
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Plus géné ra le ment à un nombre pseudo aléatoire U i uni for mé ment réparti cor res
pond le nombre X i 5 F
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(U i ) sui vant la loi F(X).
Voici un autre exemple illus trant le cas d’une loi de pro ba bi lité inver sible, celui
de la loi uni forme sur l’inter valle [a, b], de den sité de pro ba bi lité f (X) 5 l/(b 2 a).
Sa fonc tion de répar tition est :
F (X) 5 (X 2 a)/(b 2 a)
a < X < b
F (X) 5 0
X , a
F (X) 5 1
X . b
Connais sant U, il est facile d’en déduire X : X 5 F
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(U) 5 a 1 U # (b 2 a).
La forme ana ly tique de F(X) n’est pas tou jours inver sible. Cepen dant, F(X) pour
cer taines lois de pro ba bi lité est obte nue par com bi nai son d’autres lois. C’est le cas,
par exemple, de la loi nor male et de toutes les lois qui dérivent de la loi expo nen tielle
(la loi hyper exponentielle, la loi de Cox, la loi d’Erlang).
• Lois dont la défi ni tion est obte nue par com bi nai son d’autres lois
D’après le théo rème de la limite cen trale, la somme de n variables indé pen dantes
de même loi de moyenne
(1) m et d’écart type s converge vers une loi nor male
de moyenne
(1)
nm et de variance ns
2
lorsque n tend vers l’infini. Si l’on prend n
nombres pseudoaléatoires u i uni for mé ment dis tri bués dans [0, 1], alors on sait qu’en
posant :
X 5
a
n
i 51
u i 2 nm
s # "n
, que X suit une loi nor male cen trée réduite.
Pour une loi nor male de moyenne
(1)
m et d’écart type s, on déduit un échan tillon
arti fi ciel : Y k (k 5 1, 2, c ) par : Υ k 5 X k # s 1 m, où X k (k 5 1, 2, c ) est l’échan tillon
arti fi ciel obtenu ci des sus.
10.4 un exemple de Simu la tion
Nous nous limi te rons, dans un but didac tique, à un exemple de petite taille. Pre nons
l’exemple d’un sys tème infor ma tique com por tant un ser veur qui traite des requêtes
de dif fé rents clients dans l’ordre d’arri vée (PAPS : pre mier arrivé, pre mier au ser
vice). Le but de la simu la tion du modèle
(2)
de ce sys tème est d’étu dier la charge du
ser veur, le nombre de requêtes en attente d’être trai tées et aussi la durée moyenne
d’attente d’un client. On sup pose que les requêtes arrivent toutes les 1 minute dans
30 % des cas, toutes les 2 minutes dans 45 % des cas et toutes les 3 minutes dans les
autres cas. La durée de trai te ment est de 1 minute dans 15 % des cas, de 2 minutes
dans 25 %, de 3 minutes dans 35 % des cas et de 4 minutes dans les autres cas.
(1) Stricto sensu on devrait dire : espérance mathématique.
(2) Si les arrivées des requêtes suivent une loi de Poisson et les traitements, une loi exponentielle
on a affaire à la file M / M / 1 : cf 7.3, qu’on peut étudier analytiquement.