Chapitre 9 • Introduction à la théorie des jeux
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9.6 métho do lo gIe d ’ étude des jeux à deux joueurs
et somme nulle
Ter mi nons en don nant une métho do lo gie d’étude des jeux à deux joueurs et à somme
nulle.
1. Déter mi ner si le jeu com porte un (ou plu sieurs) point(s)-selle.
S’il com porte un seul point­ selle, la stra té gie opti male de A est de jouer la ligne du
point- selle lors de chaque coup ; celle du point B, de jouer la colonne du point­ selle.
S’il com porte plu sieurs points­ selle : A joue en choi sis sant au hasard l’une des lignes
com por tant un point- selle, de manière équiprobable ; B joue en choi sis sant au hasard
l’une des colonnes com por tant un point- selle, de manière équiprobable.
2. Si le jeu ne com porte pas de point­ selle, chercher s’il existe des stra té gies domi ­
nées (réces sives) ; si oui, les sup pri mer.
3. Si, après l’éven tuelle éli mi na tion des stra té gies domi nées, la matrice du jeu ne com -
porte que soit 2 lignes, soit 2 colonnes, résoudre gra phi que ment (comme ci- dessus).
4. Sinon, trans la ter, si besoin est, la valeur du jeu en posant gr 5 g 1 a où α est
l’opposé du terme le plus néga tif de la matrice du jeu ; poser ar ij 5 a ij 1 a et résoudre le pro gramme linéaire du joueur B (la méthode de la divi sion par gr est conseillée).
En déduire, par dua lité, les fré quences opti males de jeu des stra té gies pour A.
EXER CICES
*9.1 Jeux avec point- selle
1. Soit un jeu à deux per sonnes et à somme nulle, donné par le tableau des
gains du joueur A (et donc des pertes du joueur B) sui vant .
A
1
1
2
2
B
3
3
4
6
3
5
4
2
1
0
1
1
2
4
7
Mon trer qu’il com porte un point- selle (ou point d’équi libre)
Quelle stra té gie doit suivre chaque joueur ?