Chapitre 9 • Introduction à la théorie des jeux
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On dit, dans ces condi tions, que la pre mière stra té gie de F est domi née par sa
deuxième stra té gie : une ligne est domi née par une autre ligne si les coef fi cients
de l’inéga lité qu’exprime cette ligne sont supé rieurs aux coef fi cients de l’inéga -
lité qu’exprime cette autre ligne. Lorsque la domi nance est stricte, c’est­ à­dire
lorsque les coef fi cients de la ligne domi nante sont stric te ment supé rieurs à ceux,
cor res pon dants, de la ligne domi née, on peut, sans modi fier ni la valeur du jeu
ni les fré quences à cal cu ler, sup pri mer la ligne domi née. On dira encore que la
pre mière stra té gie de F est réces sive et, l’ayant sup pri mée, on posera p 1 = 0 et le
tableau se réduira à :
ce qui cor res pond, pour la firme F, à résoudre :
c
–p 2 – 3p 3 > g
avec c
p 2 + p 3 = 1
2p 3 > g
et
–3p 2
> g
p 2 , p 3 > 0
On voit éga le ment que :
2p 2 2 3p 3 > g entraîne : 2p 3 > g ;
en effet :
2p 3 = – p 2 – 3p 3 + (p 2 + 5p 3 )
d’où, puisque p 2 + 5p 3 est posi tif :
2p 3 . 2p 2 2 3p 3 > g,
soit :
2p 3 . g.
(9.1)
On peut donc éli mi ner la deuxième stra té gie de C, c’est­ à­dire poser : q 2 = 0. Il s’agit,
cette fois, d’une domi nance stricte de colonnes. Rap pe lons que l’on reconnaît qu’une
colonne en domine une autre si les coef fi cients de la pre mière sont infé rieurs à ceux,
cor res pon dants, de la seconde.
Il ne nous reste fina le ment que le tableau réduit ci-dessous pour lequel : maximin = 3
et minimax = -1 (donc sans point-selle). Les pro grammes sui vants en résultent :
(I) b
–p 2 – 3p 3 > g avec b
p 2 + p 3 = 1
–3p 2
> g
p 2 , p 3 > 0
(II) b
– q 1 – 3q 3 < g avec b
q 1 + q 3 = 1
–3q 1
< g
q 1 , q 3 > 0
Une méthode rapide, pour résoudre l’un de ces pro grammes, est la méthode
gra phique. Pre nons, par exemple, le pre mier et rem pla çons p 3 par 1 – p 2 . Il vient :
–p 2 – 3p 3 = –p 2 – 3(1 – p 2 ) = 2p 2 – 3
q 1
q 3
p 2
p 3
�1 �3
�3
0
q 1
q 2
q 3
p 2
p 3
1
2
3
3
0
0