Chapitre 9 • Introduction à la théorie des jeux
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[min] g sous les contraintes :
pour B : II e
–q 1 + 2q 2 +
q 3 < g
q 1 – 2q 2 + 2q 3 < g
3q 1 + 4q 2 – 3q 3 < g
q 1 +
q 2 +
q 3 = 1
q 1 ,
q 2 ,
q 3 > 0
Ce sont deux pro grammes linéaires para mé trés (par g). Nous pou vons éli mi ner des
in équa tions de II l’une des variables, par exemple q 3 > 0, en substituant à q 3 sa
valeur : q 3 5 1 2 q 1 2 q 2
Il vient :
IIr e
–2q 1 +
q 2
< g – 1
–q 1 – 4q 2
< g – 2
6q 1 + 7q 2
< g + 3
q 1 +
q 2 + q 3 = 1
q 1 ,
q 2 , q 3 > 0
Intro dui sons des variables d’écart pour rame ner les in équa tions à des équa tions :
IIs d
–2q 1 +
q 2
+ q 4
= g – 1 (1)
–q 1 – 4q 2
+ q 5
= g – 2 (2)
6q 1 + 7q 2
+ q 6 = g + 3 (3)
q 1 +
q 2 + q 3
= 1
Nous allons main te nant sim pli fier le sys tème, en sous trayant la deuxième équa tion :
(2) de la pre mière (1), et de la troi sième (3), de manière à faire dis pa raître la valeur
inconnue g ; nous avons choisi de sous traire la deuxième équa tion car g – 2 , g – 1
< g + 3 : ainsi obtiendrons- nous des seconds membres posi tifs. On a :
IIt c
–q 1 +
5q 2
+ q 4 – q 5
= 1
7q 1 + 11q 2
– q 5 + q 6 = 5
q 1 +
q 2 + q 3
= 1
1
Si, compte tenu de ces trois éga li tés, on minimise la fonc tion –q 1 – 4q 2 + q 5 + 2,
qui est égale à g, on obtient un programme linéaire ; en fait, nous maxi mi se rons
l’opposé, soit q 1 + 4q 2 – q 5 – 2, qu’on résoudra en uti li sant la méthode des tableaux.
Nous pre nons donc comme fonction économique z = q 1 + 4q 2 – q 5 , qui est à maximiser.
1. Cette équation signifie que le point représentatif de toute solution dans le système d'axes q 1 , q 2 ,
q 3 se trouve dans le plan q 1 1 q 2 1 q 3 5 1.