9.3 Notion de stra té gies mixtes
373
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
B
I
Matrice 3
II
III
A
1
3
1
4
2
1
3
2
1
2
3
2
Les mini mums pour les lignes 1, 2 et 3 étant res pec ti ve ment : –1, –2 et –3, le maximin est –1 et cor res pond à la stra té gie pure 1.
Les maxi mums pour les colonnes I, II et III étant res pec ti ve ment 3, 4 et 2, le mini
max est 2, cor res pon dant à la stra té gie pure III.
Ici, les lignes 1 et colonne III se coupent sur un élé ment qui n’est ni le maximin ni le
mini max : –1 = maximin , a 1,III = μ , minimax = 2.
Dans ces condi tions, pour un jeu à plu sieurs coups, l’uti li sation de la « ruse »
peut être envi sa gée. Ainsi, A peut se dire :« si je joue la ligne 2, au lieu de la ligne 1,
et si B joue la colonne du mini max, soit III, je gagne rai 2, au lieu de 1. Mais il est
pro bable que B ima gi nera ma ruse et, pour la contre carrer, il pourra jouer la colonne II, pour me faire perdre 2 ; il serait donc avan ta geux que je joue la ligne 3 pour
gagner 4 ; mais, dans cette hypo thèse, peut- être B aura til suivi mon rai son ne ment
jusque là et, comme il jouera alors III, je per drai 3 ; peut- être, au contraire, se sera- t-il
arrêté au stade pré cé dent du rai son ne ment et me fera obte nir le gain convoité en
jouant II ; etc. ».
Ce genre de spé cu la tions montre qu’il y a pro ba ble ment inté rêt, pour cha cun
des adver saires, à jouer les dif fé rentes stra té gies à sa dis po si tion, selon des fré
quences déter mi nées (probabilités), à condi tion d’être capable, à chaque coup, de
lais ser igno rer à l’adver saire le choix qui va suivre. Cha cun dis po sera donc d’une
« stra té gie mixte ».
La déter mi na tion de la stra té gie mixte opti male, c’est àdire des fré quences les
plus favo rables de jeu des stratégies pour cha cun des joueurs, peut être conduite
selon la méthode qui nous a ser vi, au para graphe pré cé dent, à obte nir les sys tèmes
I et II.
Par un rai son ne ment iden tique, on abou tit dans le cas présent aux sys tèmes sui vants :
[max] g sous les contraintes :
pour A : I e
–p 1 +
p 2 +
3p 3 > g
2p 1 –
2p 2 +
4p 3 > g
p 1 +
2p 2 –
3p 3 > g
p 1 +
p 2 +
p 3 = 1
p 1 ,
p 2 ,
p 3 > 0
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Matrice 3
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2
1
2
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Les mini mums pour les lignes 1, 2 et 3 étant res pec ti ve ment : –1, –2 et –3, le maximin est –1 et cor res pond à la stra té gie pure 1.
Les maxi mums pour les colonnes I, II et III étant res pec ti ve ment 3, 4 et 2, le mini
max est 2, cor res pon dant à la stra té gie pure III.
Ici, les lignes 1 et colonne III se coupent sur un élé ment qui n’est ni le maximin ni le
mini max : –1 = maximin , a 1,III = μ , minimax = 2.
Dans ces condi tions, pour un jeu à plu sieurs coups, l’uti li sation de la « ruse »
peut être envi sa gée. Ainsi, A peut se dire :« si je joue la ligne 2, au lieu de la ligne 1,
et si B joue la colonne du mini max, soit III, je gagne rai 2, au lieu de 1. Mais il est
pro bable que B ima gi nera ma ruse et, pour la contre carrer, il pourra jouer la colonne II, pour me faire perdre 2 ; il serait donc avan ta geux que je joue la ligne 3 pour
gagner 4 ; mais, dans cette hypo thèse, peut- être B aura til suivi mon rai son ne ment
jusque là et, comme il jouera alors III, je per drai 3 ; peut- être, au contraire, se sera- t-il
arrêté au stade pré cé dent du rai son ne ment et me fera obte nir le gain convoité en
jouant II ; etc. ».
Ce genre de spé cu la tions montre qu’il y a pro ba ble ment inté rêt, pour cha cun
des adver saires, à jouer les dif fé rentes stra té gies à sa dis po si tion, selon des fré
quences déter mi nées (probabilités), à condi tion d’être capable, à chaque coup, de
lais ser igno rer à l’adver saire le choix qui va suivre. Cha cun dis po sera donc d’une
« stra té gie mixte ».
La déter mi na tion de la stra té gie mixte opti male, c’est àdire des fré quences les
plus favo rables de jeu des stratégies pour cha cun des joueurs, peut être conduite
selon la méthode qui nous a ser vi, au para graphe pré cé dent, à obte nir les sys tèmes
I et II.
Par un rai son ne ment iden tique, on abou tit dans le cas présent aux sys tèmes sui vants :
[max] g sous les contraintes :
pour A : I e
–p 1 +
p 2 +
3p 3 > g
2p 1 –
2p 2 +
4p 3 > g
p 1 +
2p 2 –
3p 3 > g
p 1 +
p 2 +
p 3 = 1
p 1 ,
p 2 ,
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