Chapitre 9 • Introduction à la théorie des jeux
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Évi dem ment, le joueur A cherche à gagner le plus pos sible ; mais, comme il
est intel ligent, il sait que, de son côté, son adver saire cherchera à perdre le moins
pos sible. Sa pru dence le conduit alors à déter mi ner, pour cha cune des stra té gies
à sa dis po si tion, le gain mini mal qui figure dans la ligne cor res pon dante :
• pour la pre mière ligne, c’est –2 ; pour la deuxième, c’est 1 ; pour la troi sième,
c’est –1, puis à choi sir la stra té gie qui cor res pond au maxi mum de ces gains mini
maux, soit le choix de la ligne (ou « stra té gie ») 2.
• le gain minimal qui se trouve sur cette ligne 2, soit a 22 = 1, est appelé « maximin »
(car c’est le maxi mum des mini mums en ligne).
Le joueur B, quant à lui, est amené, par un rai son ne ment symé trique, à déter mi -
ner la perte maximale, colonne par colonne, c’est àdire stra té gie par stra té gie à sa
dis po si tion : pour la colonne I, c’est 2 ; pour la colonne II, c’est 1 et, enfin, pour la
colonne III, c’est 2 ; puis il choi sira la perte mini male parmi celles- ci, soit 1, qui
cor res pond à la colonne ou à la stra té gie II.
La perte minimale, située dans cette seconde colonne, soit a 22 = 1, est appelé
« mini max » (car c’est le mini mum des maxi mums en colonne).
Pour toute matrice de jeu à deux per sonnes et à somme nulle, le maximin est
infé rieur ou égal au mini max: en effet, soit μ l’élé ment de cette matrice situé dans la
ligne du maximin et dans la colonne du mini max. Par défi ni tion, on a :
maximin < m et mini max > m ; ainsi : maximin < mini max.
On a déjà vu qu’il y a, pour le jeu donné par la matrice 1, coïn ci dence entre le
gain de A et la perte de B ; dans un jeu à « point- selle », cela résulte sim ple ment de
l’éga lité ici entre le maximin et le mini max. On appelle aussi le point- selle : « point
d’équi libre » car on peut mon trer que chaque joueur, quel que soit le nombre de
coups du jeu, n’a pas d’inté rêt à s’écar ter de la stra té gie pure qui cor res pond, selon
sa posi tion, au maximin (pour A) ou au mini max (pour B).
Lors qu’une matrice com porte plu sieurs points- selle (néces sai re ment égaux), A
a inté rêt à jouer avec des fré quences égales les lignes com por tant des points selle ;
de même B jouera au mieux, avec des fré quences égales, les colonnes com por tant
des points selle.
9.3 notIon de stra té gIes mIxtes
1
Pas sons main te nant au cas où le mini max est stric te ment supé rieur au maxi min :
le jeu ne comporte pas de point-selle. Consi dé rons le jeu défini par la matrice 3 et
cal cu lons le maximin et le mini max.
1. Mau vaise tra duc tion de l’expres sion : mixed stra te gies ; il aurait sans doute beau coup mieux
valu gar der, en fran çais, l’appel la tion de stra té gie com bi née autre fois employée par E. Borel.
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Évi dem ment, le joueur A cherche à gagner le plus pos sible ; mais, comme il
est intel ligent, il sait que, de son côté, son adver saire cherchera à perdre le moins
pos sible. Sa pru dence le conduit alors à déter mi ner, pour cha cune des stra té gies
à sa dis po si tion, le gain mini mal qui figure dans la ligne cor res pon dante :
• pour la pre mière ligne, c’est –2 ; pour la deuxième, c’est 1 ; pour la troi sième,
c’est –1, puis à choi sir la stra té gie qui cor res pond au maxi mum de ces gains mini
maux, soit le choix de la ligne (ou « stra té gie ») 2.
• le gain minimal qui se trouve sur cette ligne 2, soit a 22 = 1, est appelé « maximin »
(car c’est le maxi mum des mini mums en ligne).
Le joueur B, quant à lui, est amené, par un rai son ne ment symé trique, à déter mi -
ner la perte maximale, colonne par colonne, c’est àdire stra té gie par stra té gie à sa
dis po si tion : pour la colonne I, c’est 2 ; pour la colonne II, c’est 1 et, enfin, pour la
colonne III, c’est 2 ; puis il choi sira la perte mini male parmi celles- ci, soit 1, qui
cor res pond à la colonne ou à la stra té gie II.
La perte minimale, située dans cette seconde colonne, soit a 22 = 1, est appelé
« mini max » (car c’est le mini mum des maxi mums en colonne).
Pour toute matrice de jeu à deux per sonnes et à somme nulle, le maximin est
infé rieur ou égal au mini max: en effet, soit μ l’élé ment de cette matrice situé dans la
ligne du maximin et dans la colonne du mini max. Par défi ni tion, on a :
maximin < m et mini max > m ; ainsi : maximin < mini max.
On a déjà vu qu’il y a, pour le jeu donné par la matrice 1, coïn ci dence entre le
gain de A et la perte de B ; dans un jeu à « point- selle », cela résulte sim ple ment de
l’éga lité ici entre le maximin et le mini max. On appelle aussi le point- selle : « point
d’équi libre » car on peut mon trer que chaque joueur, quel que soit le nombre de
coups du jeu, n’a pas d’inté rêt à s’écar ter de la stra té gie pure qui cor res pond, selon
sa posi tion, au maximin (pour A) ou au mini max (pour B).
Lors qu’une matrice com porte plu sieurs points- selle (néces sai re ment égaux), A
a inté rêt à jouer avec des fré quences égales les lignes com por tant des points selle ;
de même B jouera au mieux, avec des fré quences égales, les colonnes com por tant
des points selle.
9.3 notIon de stra té gIes mIxtes
1
Pas sons main te nant au cas où le mini max est stric te ment supé rieur au maxi min :
le jeu ne comporte pas de point-selle. Consi dé rons le jeu défini par la matrice 3 et
cal cu lons le maximin et le mini max.
1. Mau vaise tra duc tion de l’expres sion : mixed stra te gies ; il aurait sans doute beau coup mieux
valu gar der, en fran çais, l’appel la tion de stra té gie com bi née autre fois employée par E. Borel.