9.2 Jeux à deux per sonnes et à somme nulle
371
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
Nous pour rons écrire :
Ir e
a 11 p 1 +
a 21 p 2 +
(a 32 + β 31 )p 3 > g
(a 32 – β 12 )p 1 + (a 32 – β 22 )p 2 +
a 32 p 3 > g
a 13 p 1 +
a 23 p 2 +
(a 32 + β 33 )p 3 > g
a 14 p 1 +
a 24 p 2 +
(a 32 + β 34 )p 3 > g
p 1 +
p 2 +
p 3 = 1
La deuxième inéga lité peut être mise aussi sous la forme :
a 32 – (β 12 p 1 + β 22 p 2 ) > g,
dont le pre mier membre atteint son maxi mum pour p 1 = p 2 = 0 (car : β 12 , β 22 . 0 et
p 1 , p 2 > 0). Alors on a : p 3 = 1. Ainsi, a 32 > g : la valeur du jeu est infé rieure ou
égale au point selle.
Au contraire, pour le joueur B, joueur minimi sant, sa perte doit être la plus faible
pos sible :
II d
a 11 q 1 + a 12 q 2 + a 13 q 3 + a 14 q 4 < g
a 21 q 1 + a 22 q 2 + a 23 q 3 + a 24 q 4 < g
a 31 q 1 + a 32 q 2 + a 33 q 3 + a 34 q 4 < g
q 1 +
q 2 +
q 3 +
q 4 = 1.
Avec les mêmes nota tions que ci dessus, on obtient :
IIr d
a 11 p 1 + (a 32 – β 12 )q 2 +
a 13 q 3 +
a 14 q 4 < g
a 21 p 1 + (a 32 – β 22 )q 2 +
a 23 q 3 +
a 24 q 4 < g
(a 32 + β 31 )q 1 +
a 32 q 2 + (a 32 + β 33 )q 3 + (a 32 + β 34 )q 4 < g
q 1 +
q 2 +
q 3 +
q 4 = 1
et la der nière inéga lité s’écrit :
a 32 + β 31 q 1 + β 33 q 3 + β 34 q 4 < g.
Le mini mum du pre mier membre est obtenu pour : q 1 = q 3 = q 4 = 0. Alors on a :
q 2 = 1. Ainsi, a 32 < g : la valeur du jeu est supé rieure ou égale au point selle.
Fina le ment, g = a 32 : la valeur du jeu est égale au point- selle et sa solu tion opti
male est :
p 3 = 1; q 2 = 1,
toutes les autres fré quences étant égales à 0.
On voit donc que, dans un jeu à point- selle unique (la prop riété se géné ra li serait
évi dem ment), il faut prendre p k = 1 et q ℓ = 1 si le point selle se trouve à l’inter sec tion
de la k
e
ligne et de la ℓ
e
colonne.
Le com por te ment des deux per sonnes jouant le jeu dont la règle est résu mée par
la matrice 1 peut être aussi exa miné d’un point de vue plus rudi men taire, en sup po
sant seule ment que ces joueurs sont, tous deux, intel li gents et pru dents.
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
Nous pour rons écrire :
Ir e
a 11 p 1 +
a 21 p 2 +
(a 32 + β 31 )p 3 > g
(a 32 – β 12 )p 1 + (a 32 – β 22 )p 2 +
a 32 p 3 > g
a 13 p 1 +
a 23 p 2 +
(a 32 + β 33 )p 3 > g
a 14 p 1 +
a 24 p 2 +
(a 32 + β 34 )p 3 > g
p 1 +
p 2 +
p 3 = 1
La deuxième inéga lité peut être mise aussi sous la forme :
a 32 – (β 12 p 1 + β 22 p 2 ) > g,
dont le pre mier membre atteint son maxi mum pour p 1 = p 2 = 0 (car : β 12 , β 22 . 0 et
p 1 , p 2 > 0). Alors on a : p 3 = 1. Ainsi, a 32 > g : la valeur du jeu est infé rieure ou
égale au point selle.
Au contraire, pour le joueur B, joueur minimi sant, sa perte doit être la plus faible
pos sible :
II d
a 11 q 1 + a 12 q 2 + a 13 q 3 + a 14 q 4 < g
a 21 q 1 + a 22 q 2 + a 23 q 3 + a 24 q 4 < g
a 31 q 1 + a 32 q 2 + a 33 q 3 + a 34 q 4 < g
q 1 +
q 2 +
q 3 +
q 4 = 1.
Avec les mêmes nota tions que ci dessus, on obtient :
IIr d
a 11 p 1 + (a 32 – β 12 )q 2 +
a 13 q 3 +
a 14 q 4 < g
a 21 p 1 + (a 32 – β 22 )q 2 +
a 23 q 3 +
a 24 q 4 < g
(a 32 + β 31 )q 1 +
a 32 q 2 + (a 32 + β 33 )q 3 + (a 32 + β 34 )q 4 < g
q 1 +
q 2 +
q 3 +
q 4 = 1
et la der nière inéga lité s’écrit :
a 32 + β 31 q 1 + β 33 q 3 + β 34 q 4 < g.
Le mini mum du pre mier membre est obtenu pour : q 1 = q 3 = q 4 = 0. Alors on a :
q 2 = 1. Ainsi, a 32 < g : la valeur du jeu est supé rieure ou égale au point selle.
Fina le ment, g = a 32 : la valeur du jeu est égale au point- selle et sa solu tion opti
male est :
p 3 = 1; q 2 = 1,
toutes les autres fré quences étant égales à 0.
On voit donc que, dans un jeu à point- selle unique (la prop riété se géné ra li serait
évi dem ment), il faut prendre p k = 1 et q ℓ = 1 si le point selle se trouve à l’inter sec tion
de la k
e
ligne et de la ℓ
e
colonne.
Le com por te ment des deux per sonnes jouant le jeu dont la règle est résu mée par
la matrice 1 peut être aussi exa miné d’un point de vue plus rudi men taire, en sup po
sant seule ment que ces joueurs sont, tous deux, intel li gents et pru dents.