Chapitre 9 • Introduction à la théorie des jeux
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enfin, si B joue IV, A rece vra :
a 14 · p 1 + a 24 · p 2 + a 34 · p 3 .
B fera de même et jouera les colonnes avec les fré quences q 1 , q 2 , q 3 et q 4 , telles que :
q 1 + q 2 + q 3 + q 4 = 1, le « gain moyen » 1 de A se mon tera fina le ment à :
G A = (a 11 p 1 + a 21 p 2 + a 31 p 3 ) · q 1 + (a 12 p 1 + a 22 p 2 + a 32 p 3 ) · q 2
+ (a 13 p 1 + a 23 p 2 + a 33 p 3 ) · q 3 + (a l4 p 1 + a 24 p 2 + a 34 p 3 ) · q 4 .
Paral lè le ment la perte moyenne de B peut s’écrire :
P B = (a 11 q 1 + a 12 q 2 + a 13 q 3 + a 14 q 4 ) · p 1
+ (a 21 q 1 + a 22 q 2 + a 23 q 3 + a 24 q 4 ) · p 2
+ (a 31 q 1 + a 32 q 2 + a 33 q 3 + a 34 q 4 ) · p 3 .
En déve lop pant ces deux expres sions, on peut véri fier qu’on aura tou jours G A 5 P B :
en effet le jeu est à somme nulle. A, qui est le joueur « maxi mi sant », désire évi dem
ment dépas ser, si c’est pos sible, ou, au moins, atteindre, la valeur g du jeu (dont nous
sup po sons l’existence, y com pris dans le cas géné ral que nous ren contre rons plus
loin) ; son gain doit être le plus élevé pos sible, même dans le cas où le joueur B se
bor ne rait à une stra té gie pure ; d’où quatre cas, selon que :
B choi si rait en per ma nence I : [q 1 = 1, q 2 = q 3 = q 4 = 0],
ou II : [q 1 = 0, q 2 = 1, q 3 = q 4 = 0],
ou III : [q 1 = q 2 = 0, q 3 = 1, q 4 = 0],
ou IV : [q 1 = q 2 = q 3 = 0, q 4 = 1].
On obtient alors :
I e
a 11 p 1 1 a 21 p 2 1 a 31 p 3 > g ;
a 12 p 1 1 a 22 p 2 1 a 32 p 3 > g ;
a 13 p 1 1 a 23 p 2 1 a 33 p 3 > g ;
a 14 p 1 1 a 24 p 2 1 a 34 p 3 > g ;
p 1 1 p 2 1 p 3 5 1
(dans le cas où q 1 5 1)
(si q 2 5 1)
(si q 3 5 1)
(si q 4 5 1)
Mais, si nous posons comme hypo thèse l’exis tence d’un point- selle a 32 , nous avons,
avec β 31 , β 33 , β 34 . 0 et β 12 , β 22 > 0 :
a 31 = a 32 + β 31 ; a 33 = a 32 + β 33 ; a 34 = a 32 + β 34 ,
car un point- selle est le plus petit élé ment dans sa ligne (ici d’indice i = 3). Et :
a 12 = a 32 – β 12 ; a 22 = a 32 – β 22 ,
car un point selle est le plus grand élement dans sa colonne (ici d’indice j = 2).
1. Il s’agit de l’espé rance mathéma tique de gain de A, pour un coup donné.
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enfin, si B joue IV, A rece vra :
a 14 · p 1 + a 24 · p 2 + a 34 · p 3 .
B fera de même et jouera les colonnes avec les fré quences q 1 , q 2 , q 3 et q 4 , telles que :
q 1 + q 2 + q 3 + q 4 = 1, le « gain moyen » 1 de A se mon tera fina le ment à :
G A = (a 11 p 1 + a 21 p 2 + a 31 p 3 ) · q 1 + (a 12 p 1 + a 22 p 2 + a 32 p 3 ) · q 2
+ (a 13 p 1 + a 23 p 2 + a 33 p 3 ) · q 3 + (a l4 p 1 + a 24 p 2 + a 34 p 3 ) · q 4 .
Paral lè le ment la perte moyenne de B peut s’écrire :
P B = (a 11 q 1 + a 12 q 2 + a 13 q 3 + a 14 q 4 ) · p 1
+ (a 21 q 1 + a 22 q 2 + a 23 q 3 + a 24 q 4 ) · p 2
+ (a 31 q 1 + a 32 q 2 + a 33 q 3 + a 34 q 4 ) · p 3 .
En déve lop pant ces deux expres sions, on peut véri fier qu’on aura tou jours G A 5 P B :
en effet le jeu est à somme nulle. A, qui est le joueur « maxi mi sant », désire évi dem
ment dépas ser, si c’est pos sible, ou, au moins, atteindre, la valeur g du jeu (dont nous
sup po sons l’existence, y com pris dans le cas géné ral que nous ren contre rons plus
loin) ; son gain doit être le plus élevé pos sible, même dans le cas où le joueur B se
bor ne rait à une stra té gie pure ; d’où quatre cas, selon que :
B choi si rait en per ma nence I : [q 1 = 1, q 2 = q 3 = q 4 = 0],
ou II : [q 1 = 0, q 2 = 1, q 3 = q 4 = 0],
ou III : [q 1 = q 2 = 0, q 3 = 1, q 4 = 0],
ou IV : [q 1 = q 2 = q 3 = 0, q 4 = 1].
On obtient alors :
I e
a 11 p 1 1 a 21 p 2 1 a 31 p 3 > g ;
a 12 p 1 1 a 22 p 2 1 a 32 p 3 > g ;
a 13 p 1 1 a 23 p 2 1 a 33 p 3 > g ;
a 14 p 1 1 a 24 p 2 1 a 34 p 3 > g ;
p 1 1 p 2 1 p 3 5 1
(dans le cas où q 1 5 1)
(si q 2 5 1)
(si q 3 5 1)
(si q 4 5 1)
Mais, si nous posons comme hypo thèse l’exis tence d’un point- selle a 32 , nous avons,
avec β 31 , β 33 , β 34 . 0 et β 12 , β 22 > 0 :
a 31 = a 32 + β 31 ; a 33 = a 32 + β 33 ; a 34 = a 32 + β 34 ,
car un point- selle est le plus petit élé ment dans sa ligne (ici d’indice i = 3). Et :
a 12 = a 32 – β 12 ; a 22 = a 32 – β 22 ,
car un point selle est le plus grand élement dans sa colonne (ici d’indice j = 2).
1. Il s’agit de l’espé rance mathéma tique de gain de A, pour un coup donné.