9.2 Jeux à deux per sonnes et à somme nulle
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
Anatole n’a pas d’inté rêt à jouer les lignes 1 ou 3 ; s’il joue la ligne 1, il ne peut espé -
rer gagner qu’un jeton, mais risque d’en perdre deux : s’il joue la ligne 3, il ne peut
espé rer aucun gain. Au contraire, s’il joue la ligne 2, il est assuré de gagner au moins
un jeton, quelle que soit la déci sion de Bernard.
Dans ces condi tions, Bernard, se ren dant compte que son adver saire doit néces
sai re ment jouer la stra té gie 2, emploiera, de son côté, la stra té gie II, c’est àdire
limi tera sa perte à un jeton par coup.
La valeur du jeu (ici le gain d’Anatole – ou la perte de Bernard – à chaque coup)
est 1. L’élé ment situé à l’inter sec tion de la ligne 2 et de la colonne II, égal à la
valeur du jeu, jouit dans la matrice 1 d’une prop riété bien par ti cu lière. En effet,
c’est le mini mum des valeurs ins crites sur la ligne 2 et le maxi mum des valeurs por
tées dans la colonne II. Pour cette rai son, on l’appelle « point- selle ». (ou « col ») :
g = a 2,II = 1.
Exa mi nons d’un peu plus près cette notion de point- selle. Sup po sons, à cet effet,
que dans la matrice 2, l’élé ment a 32 soit un point selle (nous le sup po se rons ici
unique). Ima gi nons à présent que les joueurs A et B ne se soient pas rendus compte
que cet élé ment est le plus petit sur sa ligne et le plus grand dans sa colonne.
B
I
Matrice 2
II
III
IV
A
2
a 11
a 21
a 22
a 23
a 12
a 13
a 14
a 24
a 31
a 32
a 33
a 34
q 1
q 2
p 2
p 1
p 3
q 3
q 4
Ils auront alors ten dance à jouer : le pre mier, A, les lignes 1, 2 et 3 avec des fré
quences p 1 , p 2 et p 3 , le second, B, les colonnes I, II, III et IV avec des fré quences q 1 ,
q 2 , q 3 et q 4 , de manière à obte nir, pour le pre mier, le plus grand gain pos sible, et pour
le second, la plus petite perte.
Sup po sons que A cherche à déter mi ner les fré quences p 1 , p 2 et p 3 de ses choix ;
s’il exprime ces fré quences en probabilités, il aura d’abord :
p 1 + p 2 + p 3 = 1, avec, bien entendu : p 1 , p 2 , p 3 > 0.
Or, si B joue I, l’espé rance de gain de A s’écrira :
a 11 · p 1 + a 21 · p 2 + a 31 · p 3 ;
si B joue II, elle devien dra :
a 12 · p 1 + a 22 · p 2 + a 32 · p 3 ;
si B joue III, A obtien dra :
a 13 · p 1 + a 23 · p 2 + a 33 · p 3 ;
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Anatole n’a pas d’inté rêt à jouer les lignes 1 ou 3 ; s’il joue la ligne 1, il ne peut espé -
rer gagner qu’un jeton, mais risque d’en perdre deux : s’il joue la ligne 3, il ne peut
espé rer aucun gain. Au contraire, s’il joue la ligne 2, il est assuré de gagner au moins
un jeton, quelle que soit la déci sion de Bernard.
Dans ces condi tions, Bernard, se ren dant compte que son adver saire doit néces
sai re ment jouer la stra té gie 2, emploiera, de son côté, la stra té gie II, c’est àdire
limi tera sa perte à un jeton par coup.
La valeur du jeu (ici le gain d’Anatole – ou la perte de Bernard – à chaque coup)
est 1. L’élé ment situé à l’inter sec tion de la ligne 2 et de la colonne II, égal à la
valeur du jeu, jouit dans la matrice 1 d’une prop riété bien par ti cu lière. En effet,
c’est le mini mum des valeurs ins crites sur la ligne 2 et le maxi mum des valeurs por
tées dans la colonne II. Pour cette rai son, on l’appelle « point- selle ». (ou « col ») :
g = a 2,II = 1.
Exa mi nons d’un peu plus près cette notion de point- selle. Sup po sons, à cet effet,
que dans la matrice 2, l’élé ment a 32 soit un point selle (nous le sup po se rons ici
unique). Ima gi nons à présent que les joueurs A et B ne se soient pas rendus compte
que cet élé ment est le plus petit sur sa ligne et le plus grand dans sa colonne.
B
I
Matrice 2
II
III
IV
A
2
a 11
a 21
a 22
a 23
a 12
a 13
a 14
a 24
a 31
a 32
a 33
a 34
q 1
q 2
p 2
p 1
p 3
q 3
q 4
Ils auront alors ten dance à jouer : le pre mier, A, les lignes 1, 2 et 3 avec des fré
quences p 1 , p 2 et p 3 , le second, B, les colonnes I, II, III et IV avec des fré quences q 1 ,
q 2 , q 3 et q 4 , de manière à obte nir, pour le pre mier, le plus grand gain pos sible, et pour
le second, la plus petite perte.
Sup po sons que A cherche à déter mi ner les fré quences p 1 , p 2 et p 3 de ses choix ;
s’il exprime ces fré quences en probabilités, il aura d’abord :
p 1 + p 2 + p 3 = 1, avec, bien entendu : p 1 , p 2 , p 3 > 0.
Or, si B joue I, l’espé rance de gain de A s’écrira :
a 11 · p 1 + a 21 · p 2 + a 31 · p 3 ;
si B joue II, elle devien dra :
a 12 · p 1 + a 22 · p 2 + a 32 · p 3 ;
si B joue III, A obtien dra :
a 13 · p 1 + a 23 · p 2 + a 33 · p 3 ;