Chapitre 8 • La pro gram ma tion linéaire
302
Nous allons voir que les contraintes 1) à 4) s’inter prètent éga le ment d’une manière très
aisée. Par exemple, la contrainte 1) signi fie que, dans l’octant posi tif, les points dont
la coor don née x 1 excède 1 000 sont exclus de l’espace des solu tions. Or, x 1 5 1 000
repré sente un plan P 1 ortho go nal à l’axe Οx 1 , le coupant au point x 1 5 1 000, x 2 5 0,
x 3 5 0 ; toutes les solu tions éven tuelles du pro blème seront donc com prises, dans
l’octant posi tif, entre le plan de base x 2 Ox 3 et le plan x 1 5 1 000.
On rai son nerait de même pour les contraintes 2) et 3). En fait, les plans :
P 1 : x 1 5 1 000, P 2 : x 2 5 500, P 3 : x 3 5 1 500
déli mitent le paral lélé pi pède OABCDEFG, à l’inté rieur ou à la sur face duquel se
trouvent la (ou les) solu tion(s) éven tuelle(s).
D’autre part 3x 1 1 6x 2 1 2x 3 5 6 750 est aussi l’équa tion d’un plan P 4 , dans l’espace
à trois dimen sions et la contrainte 4) signi fie que les points-solu tions doivent néces sai -
re ment se trou ver aussi à l’inté rieur ou à la sur face du tétraèdre OA rB rCr, formé par
les trois plans de coor don nées et le plan P 4 ; le plan P 4 coupe Ox 1 en A r (2 250, 0, 0),
Ox 2 en B r (0, 1 125, 0) et Ox 3 en Cr (0, 0, 3 375).
Il est facile de voir que le plan P 4 coupe la droite FG au point Ρ (1 000, 125, 1 500) ;
en effet, FG est l’inter sec tion des plans :
b
x 1 5 1 000
x 3 5 1 500
et P 4 a comme équa tion :
3x 1 1 6x 2 1 2x 3 5 6 750 ;
si l’on rem place, dans cette équa tion x 1 et
x 3 par leur valeur, on obtient :
3 000 1 6x 2 1 3 000 5 6 750,
d’où :
6x 2 5 750 et x 2 5 125.
On éta bli rait de même que P 4 , coupe GD
en Q (250, 500, 1 500) et GB en R (1 000,
500, 375).
C’est le solide com mun au paral lélé pi pède
OABCDEFG et au tétraèdre (pyra mide tri
an gu laire de som met O : OA rB rCr) qui
contien dra les solu tions ; on constate qu’il
faut enle ver au paral lélé pi pède le (petit)
tétraèdre GPQR.
Fina le ment, pour satis faire aux contraintes,
un point solu tion doit néces sai re ment se
trou ver à l’inté rieur ou à la sur face du
polyèdre OABCDEFPQR, noté d.
Figure 8.3
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Nous allons voir que les contraintes 1) à 4) s’inter prètent éga le ment d’une manière très
aisée. Par exemple, la contrainte 1) signi fie que, dans l’octant posi tif, les points dont
la coor don née x 1 excède 1 000 sont exclus de l’espace des solu tions. Or, x 1 5 1 000
repré sente un plan P 1 ortho go nal à l’axe Οx 1 , le coupant au point x 1 5 1 000, x 2 5 0,
x 3 5 0 ; toutes les solu tions éven tuelles du pro blème seront donc com prises, dans
l’octant posi tif, entre le plan de base x 2 Ox 3 et le plan x 1 5 1 000.
On rai son nerait de même pour les contraintes 2) et 3). En fait, les plans :
P 1 : x 1 5 1 000, P 2 : x 2 5 500, P 3 : x 3 5 1 500
déli mitent le paral lélé pi pède OABCDEFG, à l’inté rieur ou à la sur face duquel se
trouvent la (ou les) solu tion(s) éven tuelle(s).
D’autre part 3x 1 1 6x 2 1 2x 3 5 6 750 est aussi l’équa tion d’un plan P 4 , dans l’espace
à trois dimen sions et la contrainte 4) signi fie que les points-solu tions doivent néces sai -
re ment se trou ver aussi à l’inté rieur ou à la sur face du tétraèdre OA rB rCr, formé par
les trois plans de coor don nées et le plan P 4 ; le plan P 4 coupe Ox 1 en A r (2 250, 0, 0),
Ox 2 en B r (0, 1 125, 0) et Ox 3 en Cr (0, 0, 3 375).
Il est facile de voir que le plan P 4 coupe la droite FG au point Ρ (1 000, 125, 1 500) ;
en effet, FG est l’inter sec tion des plans :
b
x 1 5 1 000
x 3 5 1 500
et P 4 a comme équa tion :
3x 1 1 6x 2 1 2x 3 5 6 750 ;
si l’on rem place, dans cette équa tion x 1 et
x 3 par leur valeur, on obtient :
3 000 1 6x 2 1 3 000 5 6 750,
d’où :
6x 2 5 750 et x 2 5 125.
On éta bli rait de même que P 4 , coupe GD
en Q (250, 500, 1 500) et GB en R (1 000,
500, 375).
C’est le solide com mun au paral lélé pi pède
OABCDEFG et au tétraèdre (pyra mide tri
an gu laire de som met O : OA rB rCr) qui
contien dra les solu tions ; on constate qu’il
faut enle ver au paral lélé pi pède le (petit)
tétraèdre GPQR.
Fina le ment, pour satis faire aux contraintes,
un point solu tion doit néces sai re ment se
trou ver à l’inté rieur ou à la sur face du
polyèdre OABCDEFPQR, noté d.
Figure 8.3