8.1 Exemple de pro gramme linéaire – Aspect géo mé trique
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Jus qu’à présent, nous ne nous sommes occu pés que des contraintes ; pour choi sir
entre les solu tions que nous venons de déter mi ner celle (celles) qui est (sont) opti ­
male(s), nous devons chercher à maxi mi ser la fonc tion économique :
z 5 4x 1 1 12x 2 1 3x 3 .
Pour chaque point M(x 1 5 j , x 2 5 h, x 3 5 u) de l’espace des solu tions, z a une
valeur don née :
z(j , h, u ) 5 4 j 1 12 h 1 3 u.
Par exemple, pour le point C (0, 500, 0), on a :
z 5 (4 3 0) 1 (12 3 5 000) 1 (3 3 0) 5 6 000.
Mais, les points qui, tel C, donnent à z la valeur 6 000 forment un plan P (z 56 000)
d’équa tion :
4x 1 1 12x 2 1 3x 3 5 6 000.
Repré sen tons ce plan, qui coupe les axes Ox 1 , Ox 2 et Ox 3 aux points I (1 500, 0, 0),
C (0, 500, 0) et J (0, 0, 2 000) (figure 8.4). Son intersection avec le polyèdre d est le
pentagone STUVC.
Tout plan P z , quelle que
soit la valeur de z :
z 5 4x 1 1 12x 2 1 3x 3 ,
repré sente un plan paral lèle
au plan P (z 56 000) .
La dis tance de l’ori gine à
un plan P z est :
OH 5
z
"4
2 1 12
2 1 3
2
5
z
13
.
On a donc :
z 5 13 # OH.
Dès lors, pour maxi mi ser z,
il suf fira de tra cer un plan
paral lèle au plan ICJ, dont
la dis tance à l’ori gine soit
la plus grande pos sible et
qui ait encore au moins
un point com mun avec le
polyèdre OABCDEFPQR.
Il est facile de voir que
ce plan est obtenu pour
z 5 11 500.
Figure 8.4