8.1 Exemple de pro gramme linéaire – Aspect géo mé trique
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
l’ori gine soit la plus grande pos sible et qui ait encore au moins un point en com mun
avec le poly gone d des solu tions admis sibles OAFEC.
Figure 8.2
Il est facile de voir que cette droite est obte nue pour a 5 9 000 ; cette droite a un seul
point en commun avec le poly gone : c’est le point F. D’où la solu tion opti male :
x
*
1 5 750, x
*
2 5 500, z* 5 9 000 euros.
Cette méthode géo mé trique per met de résoudre tous les pro grammes linéaires à deux
variables ; en résumé, elle consiste à écar ter la droite de la fonc tion éco no mique pas
sant par un point ini tial évident (ici O), paral lè le ment à elle même, tant que l’inter
sec tion de la droite cou rante avec le poly gone d des solu tions admis sibles n’est pas
vide. La réso lu tion s’arrête lorsque la droite cou rante n’a plus qu’un seul point de
contact (ou une arête de contact) avec ce poly gone (on a évidemment supposé que d
n’est pas vide càd que les contraintes ne sont pas contradictoires).
N.B. Si on avait z = 4x 1 + 8x 2 , les droites D α seraient parallèles à FE : alors tous les
points de l’arête seraient optimaux, y compris les sommets F et E.
Cas de n 5 3 variables
Rien ne nous empêche ici de recou rir encore à la méthode géo mé trique puisque nous
n’avons que trois variables et qu’il est pos sible de repré sen ter en clair les trois axes
(orthonormés) qui por te ront les quan ti tés x 1 , x 2 et x 3 .
A priori, toute solu tion du pro blème est repré sen tée par un point de l’espace, de coor
don nées x 1 , x 2 et x 3 , déter mi nées. Reportons nous à la formulation du 8.1.2 :
Les contraintes 5), 6) et 7) signi fient d’ailleurs que nous pour rons nous contenter de
repré sen ter l’octant posi tif de ce sys tème de coor don nées, puisque nous avons :
x 1 , x 2 et x 3 > 0
(figure 8.3).
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
l’ori gine soit la plus grande pos sible et qui ait encore au moins un point en com mun
avec le poly gone d des solu tions admis sibles OAFEC.
Figure 8.2
Il est facile de voir que cette droite est obte nue pour a 5 9 000 ; cette droite a un seul
point en commun avec le poly gone : c’est le point F. D’où la solu tion opti male :
x
*
1 5 750, x
*
2 5 500, z* 5 9 000 euros.
Cette méthode géo mé trique per met de résoudre tous les pro grammes linéaires à deux
variables ; en résumé, elle consiste à écar ter la droite de la fonc tion éco no mique pas
sant par un point ini tial évident (ici O), paral lè le ment à elle même, tant que l’inter
sec tion de la droite cou rante avec le poly gone d des solu tions admis sibles n’est pas
vide. La réso lu tion s’arrête lorsque la droite cou rante n’a plus qu’un seul point de
contact (ou une arête de contact) avec ce poly gone (on a évidemment supposé que d
n’est pas vide càd que les contraintes ne sont pas contradictoires).
N.B. Si on avait z = 4x 1 + 8x 2 , les droites D α seraient parallèles à FE : alors tous les
points de l’arête seraient optimaux, y compris les sommets F et E.
Cas de n 5 3 variables
Rien ne nous empêche ici de recou rir encore à la méthode géo mé trique puisque nous
n’avons que trois variables et qu’il est pos sible de repré sen ter en clair les trois axes
(orthonormés) qui por te ront les quan ti tés x 1 , x 2 et x 3 .
A priori, toute solu tion du pro blème est repré sen tée par un point de l’espace, de coor
don nées x 1 , x 2 et x 3 , déter mi nées. Reportons nous à la formulation du 8.1.2 :
Les contraintes 5), 6) et 7) signi fient d’ailleurs que nous pour rons nous contenter de
repré sen ter l’octant posi tif de ce sys tème de coor don nées, puisque nous avons :
x 1 , x 2 et x 3 > 0
(figure 8.3).