Exercices
295
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
1. a) Don ner la condi tion pour que le poste de douane ne soit pas engorgé.
b) Asso cier un pro ces sus de Markov et tra cer son graphe sim pli fié. On notera
E k , l’état pour lequel k voi tures sont pré sentes. Quel pro ces sus par ti cu lier
reconnaissez vous ? (jus ti fier en détail et expri mer l k pour tout k > 0 ; déter mi
ner m k selon que k < 2 ou k > 3).
2. a) On sup pose l’exis tence d’un régime per manent. Soit alors p
*
k , la pro
ba bi lité de E k . En posant C 5 l/m, expri mer p
*
k en fonc tion de p
*
0 , C et k
(dis tin guer k < 2 et k > 3).
b) Éva luer p
*
k à l’aide de la rela tion a
`
k50
p
*
k 5 1 ; on écrira cette somme
sous la forme 1 5 p
*
0 1 p
*
1 1 p
*
2 (1 1 q 1 q
2 1 q
3 1 c ).
On rap pelle que pour q , 1, 1 1 q 1 q
2 1 q
3 1 c 5
1
1 2 q
.
Mon trer alors que p
*
0 5
2 2 C
2 1 C 1 C
2
.
3. a) Prou ver que le nombre moyen d de doua niers occu pés au contrôle
des voi tures est : d 5 2 2 (2 # p
*
0 ) 2 (1 # p
*
1 ) 2 (1 # p
*
2 ).
b) En rem pla çant alors p
*
0 , p
*
1 et p
*
2 par leur valeur en fonc tion de C,
prou ver que d 5 C. Inter préter cette rela tion en terme de conser va tion de
clients (éga lité du taux d’arri vée des voi tures à la douane et du taux de
départ de voi tures contrô lées).
*7.7 Com ment amé lio rer un sys tème infor ma tique ?
(Files M/M/1/S et M/M/2/S)
Un ordi na teur, ini tia le ment mono pro ces seur, peut pla cer en mémoire de masse les
don nées rela tives à quatre tra vaux élé men taires (job), tout en trai tant un cin quième
en mémoire cen trale. Si l’ordi na teur n’est pas saturé, les tra vaux prennent place –
lors de leur arri vée – dans la file (avec la dis ci pline : pre mier arrivé, pre mier servi) ;
sinon le sixième est régu liè re ment refusé. Les arri vées aléa toires des tra vaux suivent
une loi de Pois son de taux l et les durées aléa toires des ser vices, une loi expo nen
tielle de taux m.
1. Modé li ser le pro blème à l’aide d’un pro ces sus de nais sance et de mort
com por tant six états (indi cés de 0 à 5). Tra cer le graphe des tran si tions
entre t et t 1 dt.
Don ner la nota tion de Kendall de cette file (A/B/m/n).
Ce pro ces sus est il for te ment ergodique ? Jus ti fier en détail.
2. On se place en régime per manent ; cal cu ler les pro ba bi li tés des états
en fonc tion de l, m et p
*
0 (pro ba bi lité d’avoir aucun tra vail en trai te ment).
Puis cal cu ler p
*
0 .
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
1. a) Don ner la condi tion pour que le poste de douane ne soit pas engorgé.
b) Asso cier un pro ces sus de Markov et tra cer son graphe sim pli fié. On notera
E k , l’état pour lequel k voi tures sont pré sentes. Quel pro ces sus par ti cu lier
reconnaissez vous ? (jus ti fier en détail et expri mer l k pour tout k > 0 ; déter mi
ner m k selon que k < 2 ou k > 3).
2. a) On sup pose l’exis tence d’un régime per manent. Soit alors p
*
k , la pro
ba bi lité de E k . En posant C 5 l/m, expri mer p
*
k en fonc tion de p
*
0 , C et k
(dis tin guer k < 2 et k > 3).
b) Éva luer p
*
k à l’aide de la rela tion a
`
k50
p
*
k 5 1 ; on écrira cette somme
sous la forme 1 5 p
*
0 1 p
*
1 1 p
*
2 (1 1 q 1 q
2 1 q
3 1 c ).
On rap pelle que pour q , 1, 1 1 q 1 q
2 1 q
3 1 c 5
1
1 2 q
.
Mon trer alors que p
*
0 5
2 2 C
2 1 C 1 C
2
.
3. a) Prou ver que le nombre moyen d de doua niers occu pés au contrôle
des voi tures est : d 5 2 2 (2 # p
*
0 ) 2 (1 # p
*
1 ) 2 (1 # p
*
2 ).
b) En rem pla çant alors p
*
0 , p
*
1 et p
*
2 par leur valeur en fonc tion de C,
prou ver que d 5 C. Inter préter cette rela tion en terme de conser va tion de
clients (éga lité du taux d’arri vée des voi tures à la douane et du taux de
départ de voi tures contrô lées).
*7.7 Com ment amé lio rer un sys tème infor ma tique ?
(Files M/M/1/S et M/M/2/S)
Un ordi na teur, ini tia le ment mono pro ces seur, peut pla cer en mémoire de masse les
don nées rela tives à quatre tra vaux élé men taires (job), tout en trai tant un cin quième
en mémoire cen trale. Si l’ordi na teur n’est pas saturé, les tra vaux prennent place –
lors de leur arri vée – dans la file (avec la dis ci pline : pre mier arrivé, pre mier servi) ;
sinon le sixième est régu liè re ment refusé. Les arri vées aléa toires des tra vaux suivent
une loi de Pois son de taux l et les durées aléa toires des ser vices, une loi expo nen
tielle de taux m.
1. Modé li ser le pro blème à l’aide d’un pro ces sus de nais sance et de mort
com por tant six états (indi cés de 0 à 5). Tra cer le graphe des tran si tions
entre t et t 1 dt.
Don ner la nota tion de Kendall de cette file (A/B/m/n).
Ce pro ces sus est il for te ment ergodique ? Jus ti fier en détail.
2. On se place en régime per manent ; cal cu ler les pro ba bi li tés des états
en fonc tion de l, m et p
*
0 (pro ba bi lité d’avoir aucun tra vail en trai te ment).
Puis cal cu ler p
*
0 .