Exercices
293
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
**7.3 Cas de plu sieurs sta tions à taux de ser vice dif fé rent
On consi dère un phé no mène d’attente consti tué par un sys tème ouvert à deux sta
tions. Le taux moyen d’arri vée des clients est l et la loi de ces arri vées est la loi de
Pois son. Les deux sta tions ont un taux moyen de ser vice dif fé rent. La pre mière sta -
tion S 1 a un taux μ 1 , la seconde sta tion S 2 a un taux m 2 ; tou te fois, dans ces deux sta
tions, la loi des durées de ser vice est la loi expo nen tielle. On admet que, si un client
se pré sente et que les deux sta tions sont inoc cu pées, il choi sit l’une des sta tions par tirage
au sort don nant la même pro ba bi lité, soit
1
2
, à S 1 et S 2 d’être choi sies. En ce qui concerne
ces clients la règle est : pre mier arrivé, pre mier au ser vice.
1. On demande d’éta blir les équa tions dif fé ren tielles des pro ba bi li tés
d’état en appe lant : p n (t) où n 5 0, 2, 3, 4, c (i 1), la pro ba bi lité pour
qu’il y ait n clients dans le sys tème ; p 0.1 (t) la pro ba bi lité pour qu’il y ait 1
client dans le sys tème et que S 1 soit inoc cu pée ; p 1.0 (t) la pro ba bi lité pour
qu’il y ait 1 client dans le sys tème et que S 2 soit inoc cu pée.
2. On fait l’hypo thèse que c 5
l
m 1 1 m 2
, 1, cette condi tion entraî nant
l’exis tence d’un régime per manent. Don ner les équa tions d’état en régime
per manent.
3. Exprimer, p
*
0 , p
*
0, 1 , p
*
1, 0 , p
*
2 , p
*
3 , c , p
*
n , c en fonc tion de : l, m 1
et m 2 .
4. Cal cu ler n qui repré sente le nombre moyen de clients dans le sys tème
en régime per manent.
*7.4 Répa ra tions de machines : files M/M/2/6, …, M/M/6/6
Un ate lier compte six machines, cha cune ayant un taux de panne poissonien égal à
1/6 (par heure). Deux méca ni ciens sont char gés des réparations : les durées des répa -
ra tions, valant en moyenne à 4 heures, suivent une loi expo nen tielle.
1. Quel est le nombre moyen de machines en panne en régime per manent ?
2. Même ques tion pour n 5 3, puis n 5 4, …, puis n 5 6.
**7.5 Cabi net médi cal : files M/M/1 et M/M/2
Un méde cin spécialiste a observé que la durée moyenne d’une consul ta tion est de
15 minutes. Il se dit qu’en convo quant ses patients à des heures fixées, sépa rées par
un inter valle de 20 min, il verra décroître l’exces sive occu pa tion de son cabinet. La
salle d’attente est très grande…
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
**7.3 Cas de plu sieurs sta tions à taux de ser vice dif fé rent
On consi dère un phé no mène d’attente consti tué par un sys tème ouvert à deux sta
tions. Le taux moyen d’arri vée des clients est l et la loi de ces arri vées est la loi de
Pois son. Les deux sta tions ont un taux moyen de ser vice dif fé rent. La pre mière sta -
tion S 1 a un taux μ 1 , la seconde sta tion S 2 a un taux m 2 ; tou te fois, dans ces deux sta
tions, la loi des durées de ser vice est la loi expo nen tielle. On admet que, si un client
se pré sente et que les deux sta tions sont inoc cu pées, il choi sit l’une des sta tions par tirage
au sort don nant la même pro ba bi lité, soit
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, à S 1 et S 2 d’être choi sies. En ce qui concerne
ces clients la règle est : pre mier arrivé, pre mier au ser vice.
1. On demande d’éta blir les équa tions dif fé ren tielles des pro ba bi li tés
d’état en appe lant : p n (t) où n 5 0, 2, 3, 4, c (i 1), la pro ba bi lité pour
qu’il y ait n clients dans le sys tème ; p 0.1 (t) la pro ba bi lité pour qu’il y ait 1
client dans le sys tème et que S 1 soit inoc cu pée ; p 1.0 (t) la pro ba bi lité pour
qu’il y ait 1 client dans le sys tème et que S 2 soit inoc cu pée.
2. On fait l’hypo thèse que c 5
l
m 1 1 m 2
, 1, cette condi tion entraî nant
l’exis tence d’un régime per manent. Don ner les équa tions d’état en régime
per manent.
3. Exprimer, p
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0 , p
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0, 1 , p
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1, 0 , p
*
2 , p
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3 , c , p
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n , c en fonc tion de : l, m 1
et m 2 .
4. Cal cu ler n qui repré sente le nombre moyen de clients dans le sys tème
en régime per manent.
*7.4 Répa ra tions de machines : files M/M/2/6, …, M/M/6/6
Un ate lier compte six machines, cha cune ayant un taux de panne poissonien égal à
1/6 (par heure). Deux méca ni ciens sont char gés des réparations : les durées des répa -
ra tions, valant en moyenne à 4 heures, suivent une loi expo nen tielle.
1. Quel est le nombre moyen de machines en panne en régime per manent ?
2. Même ques tion pour n 5 3, puis n 5 4, …, puis n 5 6.
**7.5 Cabi net médi cal : files M/M/1 et M/M/2
Un méde cin spécialiste a observé que la durée moyenne d’une consul ta tion est de
15 minutes. Il se dit qu’en convo quant ses patients à des heures fixées, sépa rées par
un inter valle de 20 min, il verra décroître l’exces sive occu pa tion de son cabinet. La
salle d’attente est très grande…