7.7* Pro ba bi lité de dépas ser une cer taine attente : cas de la file M/M/1
291
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
P3T f . 04 5 p
*
S 1 p
*
S11 1 c 5 p
*
S C1 1
l
Sm
1 a
l
Sm
b
2
1 c S 5
p
*
S
1 2 l/Sm
où : p
*
S 5
p
*
0 (l/m)
S!
. On obtient : f (t) 5 P[T f . 0] # (Sm 2 l) # e
2(Sm2l)t
.
Ce qui per met de retrou ver : t f 5 E(T f ) 5 3
`
0
t # f(t) # dt, d’où : t f 5 P3T f . 04 #
1
S m 2 l
.
On retrouve bien l’expres sion de t f déjà don née plus haut :
t f 5
p
*
0
# (l/m)
S
S!(1 2 l/Sm)
#
1
S # m # (1 2 l/Sm)
5
(l/m)
S
S m # S! # (1 2 l/Sm)
2
# p
*
0 .
Exemple d’appli ca tion : un pro ces seur infor ma tique doit trai ter des tra vaux qui
arrivent aléa toi re ment, selon un pro ces sus de Pois son de taux l fixé. La nature de
ces tra vaux et les carac té ris tiques tech niques du pro ces seur font que la durée aléa
toire d’exé cu tion de chaque tra vail suit une loi expo nen tielle de taux m.
Le cahier des charges pour ce pro ces seur exige que les deux spé ci fi ca tions ci -
dessous soient res pec tées :
1) le temps de « réponse » moyen (attente et exé cu tion) doit être infé rieur à une
durée don née : u ;
2) dans 90 % des cas, le temps de réponse Τ doit être infé rieur à k # θ (k est un
entier, en pra tique de l’ordre de 2 ou 3).
Nous repre nons ci- dessous les résul tats éta blis pour la file M/M/1.
Il fau dra donc trou ver un pro ces seur tel que la vitesse d’exé cu tion pour les tra
vaux consi dé rés, soit m, véri fie :
1) t 5
1
m 2 l
, u soit m . l 1
1
u
(on savait déjà que néces sai re ment : m . l) ;
2) P3T , ku 4 > 0, 9. Or :
P3T , ku 4 5 3
ku
0
f(t) # dt, soit : 3
(m2l)ku
0
e
2x
dt, en posant x 5 (m 2 l)t.
D’où : 1 2 e
2(m2 l)ku > 0, 9, c’est àdire 0, 1 > e
2(m2 l)ku
. En pre nant le loga
rithme népé rien de chaque membre : 22,3 > 2(m 2 l) # k # u. Fina le ment :
m 2 l >
2, 3
ku
soit m > l 1
2, 3
ku
.
Il y a donc deux cas :
• pour k . 2,3 , c’est la spé ci fi ca tion 1 qui déter mine m : m . l1 1/u ;
• pour k , 2,3 , c’est la spé ci fi ca tion 2 qui déter mine m : m . l1 2, 3/ku.
• pour k 5 2,3 , les deux spécifications donnent m 5 l1 1/8.
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P3T f . 04 5 p
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S 1 p
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S11 1 c 5 p
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S C1 1
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1 a
l
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2
1 c S 5
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S
1 2 l/Sm
où : p
*
S 5
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0 (l/m)
S!
. On obtient : f (t) 5 P[T f . 0] # (Sm 2 l) # e
2(Sm2l)t
.
Ce qui per met de retrou ver : t f 5 E(T f ) 5 3
`
0
t # f(t) # dt, d’où : t f 5 P3T f . 04 #
1
S m 2 l
.
On retrouve bien l’expres sion de t f déjà don née plus haut :
t f 5
p
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0
# (l/m)
S
S!(1 2 l/Sm)
#
1
S # m # (1 2 l/Sm)
5
(l/m)
S
S m # S! # (1 2 l/Sm)
2
# p
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0 .
Exemple d’appli ca tion : un pro ces seur infor ma tique doit trai ter des tra vaux qui
arrivent aléa toi re ment, selon un pro ces sus de Pois son de taux l fixé. La nature de
ces tra vaux et les carac té ris tiques tech niques du pro ces seur font que la durée aléa
toire d’exé cu tion de chaque tra vail suit une loi expo nen tielle de taux m.
Le cahier des charges pour ce pro ces seur exige que les deux spé ci fi ca tions ci -
dessous soient res pec tées :
1) le temps de « réponse » moyen (attente et exé cu tion) doit être infé rieur à une
durée don née : u ;
2) dans 90 % des cas, le temps de réponse Τ doit être infé rieur à k # θ (k est un
entier, en pra tique de l’ordre de 2 ou 3).
Nous repre nons ci- dessous les résul tats éta blis pour la file M/M/1.
Il fau dra donc trou ver un pro ces seur tel que la vitesse d’exé cu tion pour les tra
vaux consi dé rés, soit m, véri fie :
1) t 5
1
m 2 l
, u soit m . l 1
1
u
(on savait déjà que néces sai re ment : m . l) ;
2) P3T , ku 4 > 0, 9. Or :
P3T , ku 4 5 3
ku
0
f(t) # dt, soit : 3
(m2l)ku
0
e
2x
dt, en posant x 5 (m 2 l)t.
D’où : 1 2 e
2(m2 l)ku > 0, 9, c’est àdire 0, 1 > e
2(m2 l)ku
. En pre nant le loga
rithme népé rien de chaque membre : 22,3 > 2(m 2 l) # k # u. Fina le ment :
m 2 l >
2, 3
ku
soit m > l 1
2, 3
ku
.
Il y a donc deux cas :
• pour k . 2,3 , c’est la spé ci fi ca tion 1 qui déter mine m : m . l1 1/u ;
• pour k , 2,3 , c’est la spé ci fi ca tion 2 qui déter mine m : m . l1 2, 3/ku.
• pour k 5 2,3 , les deux spécifications donnent m 5 l1 1/8.