Chapitre 7 • Les phé no mènes d’attente
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Le second cro chet vaut : m # C1 1
m t
1!
1 c 1
(mt)
n22
(n 2 2)!
S . D’où :
d
dt
5P3T f . t 0 N 5 n46 5 2m # e
2mt #
(mt)
n21
(n21)!
f (t) 5 2
d
dt
P3T f . t 4 5 2
d
dt
b a
`
n51
P 3T f . t 0 N 5 n 4 # p
*
n r .
Rap pe lons que : p
*
n 5 a1 2
l
m b # a
l
m b.
f (t) 5 m # a1 2
l
m b # e
2mt
a
`
n51
(mt)
n21
(n 2 1)!
a
l
m b
n
5 (m # l) # e
2mt #
l
m a
`
n51
(lt)
n21
(n 2 1)!
.
Puisque a
`
n51
x
n21
(n 2 1)!
5 e
x
, le sigma vaut e
lt
; il vient :
f (t) 5 (m 2 l)
l
m e
2(m 2 l )t
.
D’où : P3T f . t 4 5 1 2 3
t
0
f (u) du 5
l
m e
2(m2 l)t
.
II est alors aisé de retrou ver l’attente moyenne (qui n’est autre que l’espé rance de T f ) :
t f 5 E(T f ) 5 3
`
0
t # f (t) dt 5
l
m (m 2 l)
(valeur déjà trou vée au 7.3).
Connais sant f (t), on peut cal cu ler les moments E(T
k
f ). En par ti cu lier :
var (T f ) 5 E(T
2
f ) 2 3E(t f ) 4
2 5
l
m(m 2 l)
2
.
De la même manière, on peut éta blir que pour le temps total de séjour dans le sys -
tème, soit T, com pre nant l’attente et le ser vice, on a : P[T . t] 5 e
2(m2l)t
: on reconnaît
une loi expo nen tielle de taux a 5 m 2 l. Aussi, la durée moyenne de séjour est :
t 5 E(T) 5
1
a 5
1
m 2 l
(valeur déjà trou vée au 7.3).
En outre, on montre que le pro ces sus des sor ties d’une file M/M/1 (comme d’une
file M/M/S) est un pro ces sus de Pois son de taux l. Ceci est impor tant pour les réseaux
de files d’attente, dont le pion nier a été J. JACKSON, mais dont l’étude sort du cadre
de cet ouvrage. Le lec teur pourra géné ra li ser à la file M/M/S, le cal cul de P[T f . t]
et celui f (t). Soit P[T f . 0] la pro ba bi lité d’une attente non nulle ; on a :