7.7* Pro ba bi lité de dépas ser une cer taine attente : cas de la file M/M/1
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
7.7* pro ba bi Lité de dépas ser une cer taine attente :
cas de La FiLe m/m/1
Cette étoile indique qu’il s’agit d’un paragraphe d’approfondissement, qui peut être
omis en première lecture.
Reve nons d’abord au cas d’un sys tème ouvert à une sta tion, c’est- à-dire la file
M/M/1, en régime per manent. La pro ba bi lité que l’attente dépasse t est :
P3T f . t 4 5 a
`
n51
P3T f . t 0 N 5 n4 # P 3N 5 n 4,
obtenue en appli quant la for mule « des pro ba bi li tés totales ».
T f est une variable aléa toire ; nous note rons f (t) sa den sité de pro ba bi lité :
f (t) 5
d
dt
5P 3T f < t 46. Or, on a : P 3T f < t 4 5 1 2 P 3T f . t 4,
d’où : f (t) 5 2
d
dt
5P 3T f . t 46.
Nous notons ici N la variable aléa toire « nombre de clients trou vés dans le sys
tème par un nou veau client y arri vant » ; on montre que P 3N 5 n 4 5 p
*
n , c’est àdire
que cette pro ba bi lité coïn cide avec celle de trou ver n clients dans le sys tème à un ins
tant quel conque. En outre pour qu’il y ait attente, il faut que le nou veau client arri vant
trouve, lors de son arri vée, au moins un client déjà présent dans le sys tème : n > 1.
Éva luons P3T f . t k N 5 n4 : l’attente T f dépas sera t pour un nou veau client arri
vant, disons à u, si entre u et u 1 t le ser veur a servi soit 0, soit 1, c , soit n 2 1
clients (mais pas n, sinon le nou veau client arrivé à u serait en cours de ser vice à
u 1 t, et donc plus en attente). Or les fins de ser vice, lorsque le ser veur ne connaît
pas de période d’inac tivité (faute de clients à ser vir), forment un pro ces sus de Pois -
son de taux m (les ser vices repré sentent les inter valles de temps entre deux évé ne
ments consé cu tifs de ce pro ces sus : on sait que la loi de ces ser vices est alors une
loi expo nen tielle de taux m). En notant q k (t) 5
(mt)
k
k!
e
2mt
, la pro ba bi lité d’avoir n
évé ne ments dans ce pro ces sus entre u et u 1 t, il vient :
P3T f . t 0 N 5 n 4 5 q 0 (t) 1 q 1 (t) 1 c 1 q n21 (t)
5 e
2mt # C1 1
m t
1!
1
(mt)
2
2!
1 c 1
(mt)
n21
(n 2 1)!
S 5 U.V
dont la déri vée Ur # V 1 Vr # U vaut :
2 m e
2mt # C1 1
m t
1!
1 c 1
(mt)
n21
!
(n 2 1)!
S 1 e
2mt # Cm 1 2 m
m t
2!
1 c 1
(n 2 1)m # (mt)
n22
(n 2 1)!
S
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7.7* pro ba bi Lité de dépas ser une cer taine attente :
cas de La FiLe m/m/1
Cette étoile indique qu’il s’agit d’un paragraphe d’approfondissement, qui peut être
omis en première lecture.
Reve nons d’abord au cas d’un sys tème ouvert à une sta tion, c’est- à-dire la file
M/M/1, en régime per manent. La pro ba bi lité que l’attente dépasse t est :
P3T f . t 4 5 a
`
n51
P3T f . t 0 N 5 n4 # P 3N 5 n 4,
obtenue en appli quant la for mule « des pro ba bi li tés totales ».
T f est une variable aléa toire ; nous note rons f (t) sa den sité de pro ba bi lité :
f (t) 5
d
dt
5P 3T f < t 46. Or, on a : P 3T f < t 4 5 1 2 P 3T f . t 4,
d’où : f (t) 5 2
d
dt
5P 3T f . t 46.
Nous notons ici N la variable aléa toire « nombre de clients trou vés dans le sys
tème par un nou veau client y arri vant » ; on montre que P 3N 5 n 4 5 p
*
n , c’est àdire
que cette pro ba bi lité coïn cide avec celle de trou ver n clients dans le sys tème à un ins
tant quel conque. En outre pour qu’il y ait attente, il faut que le nou veau client arri vant
trouve, lors de son arri vée, au moins un client déjà présent dans le sys tème : n > 1.
Éva luons P3T f . t k N 5 n4 : l’attente T f dépas sera t pour un nou veau client arri
vant, disons à u, si entre u et u 1 t le ser veur a servi soit 0, soit 1, c , soit n 2 1
clients (mais pas n, sinon le nou veau client arrivé à u serait en cours de ser vice à
u 1 t, et donc plus en attente). Or les fins de ser vice, lorsque le ser veur ne connaît
pas de période d’inac tivité (faute de clients à ser vir), forment un pro ces sus de Pois -
son de taux m (les ser vices repré sentent les inter valles de temps entre deux évé ne
ments consé cu tifs de ce pro ces sus : on sait que la loi de ces ser vices est alors une
loi expo nen tielle de taux m). En notant q k (t) 5
(mt)
k
k!
e
2mt
, la pro ba bi lité d’avoir n
évé ne ments dans ce pro ces sus entre u et u 1 t, il vient :
P3T f . t 0 N 5 n 4 5 q 0 (t) 1 q 1 (t) 1 c 1 q n21 (t)
5 e
2mt # C1 1
m t
1!
1
(mt)
2
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1 c 1
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n21
(n 2 1)!
S 5 U.V
dont la déri vée Ur # V 1 Vr # U vaut :
2 m e
2mt # C1 1
m t
1!
1 c 1
(mt)
n21
!
(n 2 1)!
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2mt # Cm 1 2 m
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(n 2 1)m # (mt)
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(n 2 1)!
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