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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
7.6 File à S sta tions, cas du sys tème fermé : file M/M/S/N
Pour éva luer les pro ba bi li tés des états en régime sta tion naire (per manent) il suf fit
alors d’instancier le résul tat géné ral des pro ces sus de nais sance et de mort :
p
*
k 5
l 0 ? l 1 ? c ? l k21
m 1 ? m 2 ? c ? m k
p
*
0
avec les valeurs de l n et m n ci dessus, puis d’éva luer p
*
0 , ce que nous fai sons dans
l’exemple ci- dessous. Notons que ce pro ces sus de Markov est for te ment ergodique
(les pro ba bi li tés des états tendent, quand t S `, vers des limites indé pen dantes de
leur valeur à t 5 0), car le graphe est for te ment connexe et fini.
Exemple. Un ate lier dis pose de cinq machines, tom bant en panne au taux l 5
1
3
par
heure. On a un méca ni cien pour répa rer les machines, le taux de ser vice est m 5
1
2
(autre ment dit, il faut deux heures en moyenne au méca ni cien pour répa rer une
machine). Le salaire, charges com prises, d’un méca ni cien est 30 euros de l’heure.
Trois ouvriers travaillent dans l’atelier ; mais, pour produire, chacun a besoin d’une
machine (en état de marche). Lors qu’un ouvrier est immo bi lisé la perte (salaire 1
charges 1 perte de pro duc tion) est esti mée à 50 euros par heure. Ne vaudrait- il pas
mieux aug men ter le nombre de méca ni ciens ?
NB : ici les valeurs numé riques ne sont pas réa listes, mais elles per mettent des cal -
culs simples !
1) Pour 5 machines et un seul méca ni cien, on a :
e
l n 5 n # l(n 5 0, 1, c , 4)
m n 5 m(n 5 1, 2, c , 5)
où l 5
1
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Figure 7.6
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7.6 File à S sta tions, cas du sys tème fermé : file M/M/S/N
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Exemple. Un ate lier dis pose de cinq machines, tom bant en panne au taux l 5
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(autre ment dit, il faut deux heures en moyenne au méca ni cien pour répa rer une
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Trois ouvriers travaillent dans l’atelier ; mais, pour produire, chacun a besoin d’une
machine (en état de marche). Lors qu’un ouvrier est immo bi lisé la perte (salaire 1
charges 1 perte de pro duc tion) est esti mée à 50 euros par heure. Ne vaudrait- il pas
mieux aug men ter le nombre de méca ni ciens ?
NB : ici les valeurs numé riques ne sont pas réa listes, mais elles per mettent des cal -
culs simples !
1) Pour 5 machines et un seul méca ni cien, on a :
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