Chapitre 7 • Les phé no mènes d’attente
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D’où : v 5 p
*
S
#
l
Sm
#
1
a1 2
l
Sm
b
2
5
a
l
m b
S11
S # S! # a1 2
l
Sm
b
2
# p
*
0 .
On obtient le temps moyen d’attente t f par la rela tion de Little : v 5 l # t f , d’où :
t f 5
(l/m)
S
S m # S! # a1 2
l
Sm
b
2
# p
*
0 .
Le nombre moyen de clients pré sents dans le sys tème est n ; en notant g le nombre
moyen de sta tions (gui chets) occu pées, on a :
n 5 v 1 g.
Certes l’on pour rait cal cu ler g par : g 5 a
S21
k51
k # p
*
k 1 a
`
k5S
S # p
*
k , (en effet si le nombre
de clients pré sents est infé rieur à S, le nombre de gui chets occu pés est égal à k : tout
client est à un gui chet ; sinon, tous les S gui chets sont occu pés, pour tout k > S).
Mais ce cal cul est lourd ; il est plus élé gant d’appli quer la prop riété de conser va tion
des clients : en régime sta tion naire (per manent) le taux des entrées dans le sys tème,
soit l, est égal au taux des sor ties du sys tème ; celui ci serait Sm si les S gui chets
étaient tous occu pés en per ma nence, ce qui est faux lorsque le nombre de clients pré
sents est infé rieur au nombre de gui chets. En fait, le taux des sor ties est le pro duit du
taux de ser vice d’un gui chet, soit m, par le nombre moyen de gui chets occu pés, soit
g. D’où l 5 mg et la valeur (très simple !) g 5 l/m.
Ce que l’on peut véri fier à l’aide des rela tions de Little : on a g 5 n 2 v ; or n 5 l # t
et v 5 l # t f d’où g 5 l(t 2 t f ). Mais : t 5 t f 1
1
m . Fina le ment : g 5 l # a
1
m b 5
l
m .
7.5 appLi ca tion numé rique
Dans une entreprise existe un bureau spécialisé, auquel le personnel a accès pen dant
les heures de tra vail. Le chef du per son nel (D.R.H.), qui a remar qué l’affluence des
inté res sés à ce bureau, demande qu’une étude rela tive au fonc tion ne ment de ce ser vice
lui soit pré sen tée. Ce contexte est certes arti fi ciel, mais per met de fixer les idées.
Un ana lyste est dési gné pour déter mi ner le temps moyen d’attente des employés
dans la file et la durée moyenne de l’entre tien que cha cun a avec le responsable de
ce bureau.
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Certes l’on pour rait cal cu ler g par : g 5 a
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client est à un gui chet ; sinon, tous les S gui chets sont occu pés, pour tout k > S).
Mais ce cal cul est lourd ; il est plus élé gant d’appli quer la prop riété de conser va tion
des clients : en régime sta tion naire (per manent) le taux des entrées dans le sys tème,
soit l, est égal au taux des sor ties du sys tème ; celui ci serait Sm si les S gui chets
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sents est infé rieur au nombre de gui chets. En fait, le taux des sor ties est le pro duit du
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g. D’où l 5 mg et la valeur (très simple !) g 5 l/m.
Ce que l’on peut véri fier à l’aide des rela tions de Little : on a g 5 n 2 v ; or n 5 l # t
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Dans une entreprise existe un bureau spécialisé, auquel le personnel a accès pen dant
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lui soit pré sen tée. Ce contexte est certes arti fi ciel, mais per met de fixer les idées.
Un ana lyste est dési gné pour déter mi ner le temps moyen d’attente des employés
dans la file et la durée moyenne de l’entre tien que cha cun a avec le responsable de
ce bureau.