7.4 File à S sta tions, sys tème ouvert : file M/M/S
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On obtient l’expres sion de p
*
S11 (en fai sant k 5 0) aisé ment par: p
*
S11 5
l
Sm
p
*
S :
p S11
*
5
1
S # S!
? a
l
m b
S11
? p
*
0 .
puis, de proche en proche, pour n > S :
p n
* 5
1
S
n2S
S!
? a
l
m b
n
? p
*
0 .
En fait, ces expres sions peuvent s’obte nir plus rapi de ment en appli quant la rela tion
éta blie pour les pro ces sus de nais sance et de mort
1
.
Comme la somme illi mi tée des p
*
n vaut 1 :
1 5 p
*
0 C
l
m
1
1
2!
a
l
m
b
2
1 c 1
1
n!
a
l
m
b
n
1 c S
1 p
*
0 C
1
S!
a
l
m
b
s
1
1
SS!
a
l
m
b
S11
1 c 1
1
S
n2S
S!
a
l
m b
n
1 c S
Dans le second crochet, le terme général égale
S
S S
s
n
!
l
m





 : on reconnaît une
série géométrique de raison
l
m
S
et de premier terme
S
S S
s
S
!
l
º





 . D’où :
Le nombre moyen de clients dans la file d’attente est: v 5 a
`
k51
k # p
*
S1k . En effet la
file n’existe que si au moins (S + 1) clients sont pré sents.
Or p
*
S1k 5 p
*
S
# a
l
Sm
b
k
. Ainsi v 5 p
*
S
#
a
`
k51
ka
l
Sm
b
k
5 p
*
S
#
l
Sm a
`
k51
k # a
l
Sm
b
k21
.
1. En effet : p
*
n 5
l 0 # l 1 # c# l n21
m 1 # m 2 # c# m n
p
*
0 ; pour n < S il vient : p
*
n 5
l ? l ? c ? l
1m # 2 m # c# nm
p
*
0 , soit :
p
*
n 5
l
n
n!m
n
# p
*
0 . Pour n > S : p
*
n 5
l ? l ? c ? l ? l ? l ? c ? l
1m ? 2m ? c ? (S 2 1)m ? Sm ? Sm ? c ? Sm
p
*
0
( '')' ' *
n2S fois
c’est­ à­dire : p
*
n 5
l
S
S!m
S
? a
l
Sm
b
n2S
? p
*
0 5
1
S
n2S
S!
? a
l
m
b
n
? p
*
0 , car : S
s a
l
Sm
b
s
5 a
l
m
b
s
.
('''')''''*
n , S