Chapitre 7 • Les phé no mènes d’attente
278
n 5
l
m 2 l
5
3
4 2 3
5 3 et t f 5
n
m 5
3
4
,
ce qui veut dire que le nombre moyen de patients (!) pré sents est 3 et que leur attente
moyenne est de 3/4 d’heure !
7.4 FiLe à S sta tions, sys tème ouvert : FiLe M/M/S
Lorsque S sta tions sont dis po nibles, le phé no mène n’est guère plus com pli qué à
décrire ; tant que les sta tions ne sont pas toutes occu pées, il n’y a pas de file d’attente:
autre ment dit, les taux de trai te ment du sys tème d’attente sont : m lors qu’une station
est occupée, 2m lorsque deux stations sont occu pées, etc., jus qu’à Sm.
Repre nons le modèle d’un pro ces sus de nais sance et de mort (cha pitre 5). On a,
bien sûr l i 5 l, pour tout i, car le nombre d’arri vées ne dépend pas du nombre de
clients pré sents dans le sys tème.
En revanche, on a : m n 5 nm, pour 1 < n , S, et m n 5 Sm, pour n > S. Ainsi l’on
peut tra cer le graphe sim pli fié de ce pro ces sus de Markov par ti cu lier :
Figure 7.4
Bien entendu, la condi tion pour que le sys tème ne s’engorge pas est ici :
l
mS
, 1.
Appli quons le théo rème des coupes à B 0 , puis à B 1 , etc. Il vient:
l # p
*
0 5 m # p
*
1 , l # p
*
1 5 2 m # p
*
2 , l # p
*
2 5 3 m # p
*
3 , c , l # p
*
S21 5 S m # p
*
S .
D’où : p
*
1 5
l
m p
*
0 ; p
*
2 5
1
2
a
l
m b
2
p
*
0 ; p
*
3 5
1
6
a
l
m b
3
p
*
0 , c
et, plus géné ra le ment, pour n < S :
p n
* 5
1
n!
a
l
m b
n
p
*
0 .
Ainsi, pour n 5 S :
p s
* 5
1
S!
a
l
m b
S
p
*
0 .
Au- delà de S clients pré sents, on obtient : l # p
*
S1k 5 S m # p
*
S1k11 .