7.3 File à une sta tion. Sys tème ouvert : file M/M/1
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
Il est facile de cal cu ler le temps moyen qu’attend un client dans la file ; lors de
son arri vée il trouve en moyenne une file de n clients qui s’écou lera en un temps
moyen n 3
1
m ,
1
m étant le temps moyen passé par chaque client à la sta tion (y com
pris pour celui au ser vice, car la loi expo nen tielle est « sans mémoire » : pour un ser
vice de loi expo nen tielle, tout se passe, à chaque ins tant, comme si ce ser vice venait
de com men cer). On a donc :
t f 5 n / m 5
l
m(m 2 l)
.
De même si lS μ
–
, alors t f S `; c’est l’engorgement.
Remarque. On obser ve qu’on a :
n 5 l # t,
t étant le temps de séjour dans le sys tème (et non dans la file). On a aussi :
v 5 l # t f , v étant le nombre moyen de clients dans la file, à l’excep tion de celui
qui se fait ser vir, quand le ser vice est occupé. Ces deux rela tions sont les for
mules de Little. Les méthodes dites de conser va tion (ou encore d’inva riants)
per mettent d’expli quer, notam ment, les for mules de Little : n 5 l # t et v 5 l # t f .
La dif fé rence entre t et t f est évi dem ment égale à la moyenne du temps de
ser vice : moyenne du temps d’attente dans le sys tème – moyenne du temps
d’attente dans la file 5 moyenne du temps de ser vice.
Ainsi : t 2 t f 5
1
m , d’où n 2 v 5 l(t 2 t f ) 5
l
m et v 5 n 2
l
m .
Dans notre cas M/M/1 où l ne dépend pas de n, on retrouve bien
t f 5 v / l 5 n / m. Lorsque l dépend de n, on défi nit un taux d’arri vée moyen
l eq
*
tel que :
n 5 l
*
eq ? t et v 5 l
*
eq ? t f .
Ainsi, si la file est limi tée à N per sonnes et com porte une sta tion (file M/M/1/N) :
l
*
eq 5 a
N21
n50
l ? p
*
n 5 l ? (1 2 p
*
N ) ;
si un ate lier com porte N machines, chacune de taux de panne l, et un seul répa
ra teur de taux m :
l
*
eq 5 a
N21
n50
(N 2 n) ? l ? p
*
n 5 m ? (1 2 p
*
0 ).
Appli ca tion. Dès à présent, le lec teur peut se rendre compte des rai sons pour les quelles
on attend si long temps chez le méde cin… Par exemple, si la durée d’une consul ta tion
est, en moyenne, de 15 min, le méde cin convoque ses patients toutes les 20 min, mais,
dans notre société où l’inexac ti tude est deve nue la règle, ceux- ci arrivent fina le ment au
hasard... On a : l = 3, μ = 4 (par heure). Il est alors facile de cal cu ler :
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
Il est facile de cal cu ler le temps moyen qu’attend un client dans la file ; lors de
son arri vée il trouve en moyenne une file de n clients qui s’écou lera en un temps
moyen n 3
1
m ,
1
m étant le temps moyen passé par chaque client à la sta tion (y com
pris pour celui au ser vice, car la loi expo nen tielle est « sans mémoire » : pour un ser
vice de loi expo nen tielle, tout se passe, à chaque ins tant, comme si ce ser vice venait
de com men cer). On a donc :
t f 5 n / m 5
l
m(m 2 l)
.
De même si lS μ
–
, alors t f S `; c’est l’engorgement.
Remarque. On obser ve qu’on a :
n 5 l # t,
t étant le temps de séjour dans le sys tème (et non dans la file). On a aussi :
v 5 l # t f , v étant le nombre moyen de clients dans la file, à l’excep tion de celui
qui se fait ser vir, quand le ser vice est occupé. Ces deux rela tions sont les for
mules de Little. Les méthodes dites de conser va tion (ou encore d’inva riants)
per mettent d’expli quer, notam ment, les for mules de Little : n 5 l # t et v 5 l # t f .
La dif fé rence entre t et t f est évi dem ment égale à la moyenne du temps de
ser vice : moyenne du temps d’attente dans le sys tème – moyenne du temps
d’attente dans la file 5 moyenne du temps de ser vice.
Ainsi : t 2 t f 5
1
m , d’où n 2 v 5 l(t 2 t f ) 5
l
m et v 5 n 2
l
m .
Dans notre cas M/M/1 où l ne dépend pas de n, on retrouve bien
t f 5 v / l 5 n / m. Lorsque l dépend de n, on défi nit un taux d’arri vée moyen
l eq
*
tel que :
n 5 l
*
eq ? t et v 5 l
*
eq ? t f .
Ainsi, si la file est limi tée à N per sonnes et com porte une sta tion (file M/M/1/N) :
l
*
eq 5 a
N21
n50
l ? p
*
n 5 l ? (1 2 p
*
N ) ;
si un ate lier com porte N machines, chacune de taux de panne l, et un seul répa
ra teur de taux m :
l
*
eq 5 a
N21
n50
(N 2 n) ? l ? p
*
n 5 m ? (1 2 p
*
0 ).
Appli ca tion. Dès à présent, le lec teur peut se rendre compte des rai sons pour les quelles
on attend si long temps chez le méde cin… Par exemple, si la durée d’une consul ta tion
est, en moyenne, de 15 min, le méde cin convoque ses patients toutes les 20 min, mais,
dans notre société où l’inexac ti tude est deve nue la règle, ceux- ci arrivent fina le ment au
hasard... On a : l = 3, μ = 4 (par heure). Il est alors facile de cal cu ler :