Chapitre 7 • Les phé no mènes d’attente
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En appli quant le théo rème des coupes à B 0 5 5E 0 6, puis B 1 5 B 0 c 5E 1 6, puis c ,
puis B n21 5 B n22 c 5E n21 6 5 5E 0 , E 1 , c , E n21 6, il vient:
l # p
*
0 5 m # p
*
1 ; l # p
*
1 5 m # p
*
2 ; c ; l # p
*
n21 5 m # p
*
n .
On retrouve ainsi direc te ment : p
*
n 5 a
l
m b
n
# p
*
0 .
Obser vons que le théo rème des coupes nous a fourni direc te ment l’inva riant :
lp
*
n21 2 mp
*
n 5 0, qui avait faci lité la réso lu tion de la récur rence (por tant initialement
sur trois termes consé cu tifs : p n21 , p n et p n11 , au lieu de deux ici : p n21 et p n ).
On aurait pu aller encore plus vite, en appli quant la rela tion valable pour les pro ­
ces sus de nais sance et de mort for te ment ergodiques (c’est le cas ici si l/m , 1) :
p
*
n 5
l n21 ? l n22 ? c ? l 0
m n ? m n21 ? c ? m 1
? p
*
0
soit ici : p
*
n 5 a
l
m b
n
.
Cal cu lons la “moyenne” de cette dis tri bu tion (en fait l’espé rance du nombre de
clients pré sents) :
n 5 a
`
0
n # p
*
n 5 0 # p
*
0 1 1 # p
*
1 1 2 # p
*
2 1 c 1 n # p
*
n 1 c
5 C a
l
m b 1 2a
l
m b
2
1 3a
l
m b
3
1 c 1 na
l
m b
n
1 c S
Or :
l
m 1 2a
l
m b
2
1 c 1 na
l
m b
n
1 c 5
l
m C1 1 2
l
m 1 3a
l
m b
2
1 c 1 na
l
m b
n21
1 c S
et l’on reconnaît, dans le cro chet, la déri vée, par rap port à q 5
l
m de la pro gres sion :
q 1 q
2 1 q
3 1 c 1 q
n 1 c 5 q(1 1 q 1 q
2 1 c ) 5
q
1 2 q
.
En déri vant cette der nière expres sion par rap port à q, on obtient
1
(1 2 q)
2
et ainsi
le crochet vaut
1
a 1 2
l
m b
2
; d’où : n 5 a n # p
*
n 5
l
m #
1
a 12
l
m b
2
a 12
l
m b 5
l
m
12
l
m
5
l
m 2 l
.
On observera que si lS μ
–
; le dénominateur tend vers 0
+
et n S ` : on voit se
profiler la saturation !