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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
7.3 File à une sta tion. Sys tème ouvert : file M/M/1
Rap pe lons que la somme des termes d’une pro gres sion géo mé trique illi mi tée :
1 1 q 1 q
2 1 c 1 q
m 1 c vaut : 1/(1 2 q) si q , 1.
Or
l
m , 1, comme nous le justifions au paragraphe suivant ; d’où:
1 5 p
*
0
#
1
1 2
l
m
,
(7.5)
en fai sant la somme de la pro gres sion géo mé trique illi mi tée (« série géo mé trique »). On
obser vera que cette série est conver gente, car il est phy si que ment néces saire que
l
m , 1,
autre ment dit que le taux d’arri vées des clients soit infé rieur au taux de ser vice, pour qu’il
n’y ait pas engor ge ment. Il vient alors :
p
*
0 5 1 2
l
m
.
La sim pli cité de cette for mule s’explique par la notion de conser va tion des clients :
en régime per manent le taux des entrées dans le sys tème M/M/1 est égal à l ; celui des
sor ties serait égal à m si la sta tion était occu pée en per ma nence, mais celle ci n’est occu
pée qu’avec la pro ba bi lité 1 2 p
*
0 . Le taux des sor ties valant alors m # (1 2 p
*
0 ) est égal, en
régime per manent, au taux des entrées, soit l, d’où : l 5 m(1 2 p 0
*
). Puis on obtient :
p
*
n 5 a
l
m b
n
# a1 2
l
m b .
Comme nous l’avons dit plus haut, on peut aussi trai ter cette file d’attente comme
un pro ces sus de nais sance et de mort. L’état n (ou E n ) désigne la situa tion où n clients
sont pré sents. Les arri vées des clients, de loi poissonienne, consti tuent (nous l’avons
vu au cha pitre 5) un pro ces sus de nais sance ; de plus le taux de nais sance à par tir de
l’état n vaut ici : l n 5 l (n 5 0,1, 2, c ). Les départs de clients, dus aux fins de ser -
vices, consti tuent un pro ces sus de mort pour lequel m n 5 m (n 5 1, 2, 3, c ).
Voici alors le graphe des tran si tions entre états, entre t et t 1 Dt :
Figure 7.2
Le graphe « sim pli fié » est le sui vant :
Figure 7.3
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
7.3 File à une sta tion. Sys tème ouvert : file M/M/1
Rap pe lons que la somme des termes d’une pro gres sion géo mé trique illi mi tée :
1 1 q 1 q
2 1 c 1 q
m 1 c vaut : 1/(1 2 q) si q , 1.
Or
l
m , 1, comme nous le justifions au paragraphe suivant ; d’où:
1 5 p
*
0
#
1
1 2
l
m
,
(7.5)
en fai sant la somme de la pro gres sion géo mé trique illi mi tée (« série géo mé trique »). On
obser vera que cette série est conver gente, car il est phy si que ment néces saire que
l
m , 1,
autre ment dit que le taux d’arri vées des clients soit infé rieur au taux de ser vice, pour qu’il
n’y ait pas engor ge ment. Il vient alors :
p
*
0 5 1 2
l
m
.
La sim pli cité de cette for mule s’explique par la notion de conser va tion des clients :
en régime per manent le taux des entrées dans le sys tème M/M/1 est égal à l ; celui des
sor ties serait égal à m si la sta tion était occu pée en per ma nence, mais celle ci n’est occu
pée qu’avec la pro ba bi lité 1 2 p
*
0 . Le taux des sor ties valant alors m # (1 2 p
*
0 ) est égal, en
régime per manent, au taux des entrées, soit l, d’où : l 5 m(1 2 p 0
*
). Puis on obtient :
p
*
n 5 a
l
m b
n
# a1 2
l
m b .
Comme nous l’avons dit plus haut, on peut aussi trai ter cette file d’attente comme
un pro ces sus de nais sance et de mort. L’état n (ou E n ) désigne la situa tion où n clients
sont pré sents. Les arri vées des clients, de loi poissonienne, consti tuent (nous l’avons
vu au cha pitre 5) un pro ces sus de nais sance ; de plus le taux de nais sance à par tir de
l’état n vaut ici : l n 5 l (n 5 0,1, 2, c ). Les départs de clients, dus aux fins de ser -
vices, consti tuent un pro ces sus de mort pour lequel m n 5 m (n 5 1, 2, 3, c ).
Voici alors le graphe des tran si tions entre états, entre t et t 1 Dt :
Figure 7.2
Le graphe « sim pli fié » est le sui vant :
Figure 7.3