Chapitre 7 • Les phé no mènes d’attente
274
(on obser vera que, si aucun client n’est présent à t, la pro ba bi lité pour qu’il n’en
sorte pas du sys tème pen dant le Dt sui vant est 1, et non 1 2 m D t).
Reve nons au cas n > 1. On a donc, en fai sant tendre Dt vers 0 :
pr n (t) 5 lp n21 (t) 2 (l 1 m)p n (t) 1 mp n11 (t)
(7.1)
et
pr 0 (t) 5 2l p 0 (t) 1 mp 1 (t)
(7.2)
Sup po sons le phé no mène sta tion naire : les pro ba bi li tés des états ont alors atteint
une limite. On a donc :
p n (t) 5 p
*
n 5 constante ; d’où :
pr 0 (t) 5 pr 1 (t) 5 c 5 pr n (t) 5 c 5 0.
Les équa tions dif fé ren tielles (7.1) et (7.2) se trans forment alors en équa tions
linéaires algé briques : 2lp
*
0 1 m p
*
1 5 0
et, pour n > 1 : 0 5 lp
*
n21 2 (l 1 m) p
*
n1m p
*
n11
On obtient faci le ment, de 2l p
*
0 1 mp
*
1 5 0
1
:
p
*
1 5
l
m p
*
0
En por tant dans : lp
*
0 1 (l 1 m)p
*
1 1 mp
*
2 5 0, on obtient :
p
*
2 5 a
l
m b
2
p
*
0
et, ainsi de suite, d’où :
p
*
n 5 a
l
m b
n
p
*
0
(7.3)
Or,
p
*
0 1 p
*
1 1 c 1 p
*
n 1 c 5 1,
(7.4)
d’où, d’après la for mule (7.3) :
p
*
0 1 p
*
1 1 c 1 p
*
n 1 c 5 p
*
0 1
l
m p
*
0 1 a
l
m b
2
p
*
0 1 c 1 a
l
m b
n
p
*
0 1 c
5 p
*
0 C1 1
l
m 1 a
l
m b
2
1 c 1 a
l
m b
n
1 c S.
1. On remar quera que la quan tité de 2l p n21 1 mp n est un « inva riant » car elle ne dépend pas de
n ; de plus, cette quan tité est nulle, ce qui sim pli fie la réso lu tion de la récur rence. Cet inva riant
découle de la conser va tion des fré quences de tran si tion expri mée par le théo rème des coupes (cf.
cha pitre 5)
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(on obser vera que, si aucun client n’est présent à t, la pro ba bi lité pour qu’il n’en
sorte pas du sys tème pen dant le Dt sui vant est 1, et non 1 2 m D t).
Reve nons au cas n > 1. On a donc, en fai sant tendre Dt vers 0 :
pr n (t) 5 lp n21 (t) 2 (l 1 m)p n (t) 1 mp n11 (t)
(7.1)
et
pr 0 (t) 5 2l p 0 (t) 1 mp 1 (t)
(7.2)
Sup po sons le phé no mène sta tion naire : les pro ba bi li tés des états ont alors atteint
une limite. On a donc :
p n (t) 5 p
*
n 5 constante ; d’où :
pr 0 (t) 5 pr 1 (t) 5 c 5 pr n (t) 5 c 5 0.
Les équa tions dif fé ren tielles (7.1) et (7.2) se trans forment alors en équa tions
linéaires algé briques : 2lp
*
0 1 m p
*
1 5 0
et, pour n > 1 : 0 5 lp
*
n21 2 (l 1 m) p
*
n1m p
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n11
On obtient faci le ment, de 2l p
*
0 1 mp
*
1 5 0
1
:
p
*
1 5
l
m p
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0
En por tant dans : lp
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0 1 (l 1 m)p
*
1 1 mp
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2 5 0, on obtient :
p
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2 5 a
l
m b
2
p
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0
et, ainsi de suite, d’où :
p
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n 5 a
l
m b
n
p
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0
(7.3)
Or,
p
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0 1 p
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1 1 c 1 p
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n 1 c 5 1,
(7.4)
d’où, d’après la for mule (7.3) :
p
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0 1 p
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1 1 c 1 p
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n 1 c 5 p
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0 1
l
m p
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0 1 a
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m b
2
p
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0 1 c 1 a
l
m b
n
p
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0 1 c
5 p
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0 C1 1
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m 1 a
l
m b
2
1 c 1 a
l
m b
n
1 c S.
1. On remar quera que la quan tité de 2l p n21 1 mp n est un « inva riant » car elle ne dépend pas de
n ; de plus, cette quan tité est nulle, ce qui sim pli fie la réso lu tion de la récur rence. Cet inva riant
découle de la conser va tion des fré quences de tran si tion expri mée par le théo rème des coupes (cf.
cha pitre 5)