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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
7.3 File à une sta tion. Sys tème ouvert : file M/M/1
éga le ment au cha pitre 5. Nous repren drons cepen dant ici, à titre d’exer cice, le rai
son ne ment élé men taire de la méthode dif fé ren tielle.
Si n per sonnes (n > 1) sont dans le sys tème d’attente à t 1 Dt, cela ne peut pro ve
nir
1
que des trois situa tions à l’instant t ci après :
Tableau 7.1
Nombre de personnes
présentes à t
Entrées
Sorties
pendant t
Nombre de personnes
présentes à t t
n 1
n 1
n
n
n
n
1
1
0
0
0
0
Les pro ba bi li tés d’entrée et de sor tie pen dant Dt étant, res pec ti ve ment, l D t et
m D t et les pro ba bi li tés com plé men taires (1 2 m D t) et (1 2 l D t), on a :
p n (t 1 Dt) 5 p n21 (t) 3l # D t(1 2 m # D t) 4 1 p n (t) 3 (1 2 l # D t)(1 2 m # D t) 4 1
p n11 (t) 3 (1 2 l # D t) # m # D t 4,
où l’on a noté p n (t) la pro ba bi lité de la situa tion (ou état) : n per sonnes sont dans le sys
tème à t ; on a ici noté p n (t) – au lieu de p n (t) comme au cha pitre 5 car il n’y a pas de
risque de confu sion, ici, entre les pro ba bi li tés des états et celles des tran si tions – la
pro ba bi lité pour que n per sonnes soient pré sentes dans le sys tème à la date t.
En négli geant les pro duits en Dt
2
(c’est àdire en o(Dt)), on obtient :
p n (t 1 Dt) 5 p n21 (t)l # D t 1 p n (t) 31 2 (l 1 m) # D t 4 1 p n11 (t)m # D t,
d’où :
p n (t 1 Dt) 2 p n (t)
Dt
5 l # p n21 (t) 2 (l 1 m) # p n (t) 1 m # p n11 (t),
sauf pour n 5 0, auquel cas on a seule ment les situa tions du tableau ci- dessous :
Tableau 7.2
1
1
0
0
0
0
0
0
Sorties
Entrées
Nombre de personnes
à t
Nombre de personnes
à t t
d’où :
p 0 (t 1 Dt) 2 p 0 (t)
Dt
5 2l p 0 (t) 1 mp 1 (t),
1. Ainsi que nous l’avons remar qué au cha pitre 5 dans un pro ces sus de nais sance et de mort, on
n’a pas à envi sa ger une entrée et une sor tie pen dant le temps Dt, la pro ba bi lité de cet évé ne ment
étant négli geable : en Dt
2 , donc o(Dt). Le lec teur qui com met trait cette erreur par inad ver tance ver
rait d’ailleurs le terme cor res pon dant dis pa raître ensuite de l’équa tion don nant p n (t 1 Dt).
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7.3 File à une sta tion. Sys tème ouvert : file M/M/1
éga le ment au cha pitre 5. Nous repren drons cepen dant ici, à titre d’exer cice, le rai
son ne ment élé men taire de la méthode dif fé ren tielle.
Si n per sonnes (n > 1) sont dans le sys tème d’attente à t 1 Dt, cela ne peut pro ve
nir
1
que des trois situa tions à l’instant t ci après :
Tableau 7.1
Nombre de personnes
présentes à t
Entrées
Sorties
pendant t
Nombre de personnes
présentes à t t
n 1
n 1
n
n
n
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Les pro ba bi li tés d’entrée et de sor tie pen dant Dt étant, res pec ti ve ment, l D t et
m D t et les pro ba bi li tés com plé men taires (1 2 m D t) et (1 2 l D t), on a :
p n (t 1 Dt) 5 p n21 (t) 3l # D t(1 2 m # D t) 4 1 p n (t) 3 (1 2 l # D t)(1 2 m # D t) 4 1
p n11 (t) 3 (1 2 l # D t) # m # D t 4,
où l’on a noté p n (t) la pro ba bi lité de la situa tion (ou état) : n per sonnes sont dans le sys
tème à t ; on a ici noté p n (t) – au lieu de p n (t) comme au cha pitre 5 car il n’y a pas de
risque de confu sion, ici, entre les pro ba bi li tés des états et celles des tran si tions – la
pro ba bi lité pour que n per sonnes soient pré sentes dans le sys tème à la date t.
En négli geant les pro duits en Dt
2
(c’est àdire en o(Dt)), on obtient :
p n (t 1 Dt) 5 p n21 (t)l # D t 1 p n (t) 31 2 (l 1 m) # D t 4 1 p n11 (t)m # D t,
d’où :
p n (t 1 Dt) 2 p n (t)
Dt
5 l # p n21 (t) 2 (l 1 m) # p n (t) 1 m # p n11 (t),
sauf pour n 5 0, auquel cas on a seule ment les situa tions du tableau ci- dessous :
Tableau 7.2
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0
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0
0
Sorties
Entrées
Nombre de personnes
à t
Nombre de personnes
à t t
d’où :
p 0 (t 1 Dt) 2 p 0 (t)
Dt
5 2l p 0 (t) 1 mp 1 (t),
1. Ainsi que nous l’avons remar qué au cha pitre 5 dans un pro ces sus de nais sance et de mort, on
n’a pas à envi sa ger une entrée et une sor tie pen dant le temps Dt, la pro ba bi lité de cet évé ne ment
étant négli geable : en Dt
2 , donc o(Dt). Le lec teur qui com met trait cette erreur par inad ver tance ver
rait d’ailleurs le terme cor res pon dant dis pa raître ensuite de l’équa tion don nant p n (t 1 Dt).