Chapitre 7 • Les phé no mènes d’attente
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L’expé rience montre que, dans beau coup de phé no mènes d’attente, les lois des
arri vées et des ser vices sont, res pec ti ve ment, poissonniennes et expo nen tielles. Ce
ne sont évi dem ment pas les seules formes que peuvent affec ter ces lois, mais ce sont
les plus fré quentes et aussi les plus simples à employer pour obte nir un exposé facile
des prin cipes et de la théo rie des phé no mènes d’attente.
La nota tion de Kendall a pour but de décrire, de manière com pacte, les carac té ris tiques
d’un sys tème avec attente, en lui asso ciant une chaîne de carac tères comme ci dessous :
A/B/S/N/ dis ci pline
• A est le code de la loi des arri vées ; pour la loi de Pois son on a A 5 M (M, en fait ici,
pour Markov) ; pour des arri vées déter mi nistes, c’est- à-dire à inter valles constants,
on a A 5 D ; pour une loi quel conque, géné rale, on aurait A 5 G, etc.
• B est le code de la loi des ser vices ; pour la loi expo nen tielle on a B 5 M ; on aurait
B 5 D pour des ser vices de durée constante, B 5 G pour une loi géné rale.
On peut ren contrer d’autres codes, le cas Markovien étant le plus fré quent. Ainsi E k
désigne une loi d’Erlang- k (moins dis per sée que la loi de Pois son), H r désigne une
loi Hyper expotentielle d’ordre r (davan tage dis per sée que la loi de Pois son), C n une
loi de Cox d’ordre n. L’exposé de ces lois sort du cadre de cet ouvrage ; contentonsnous de signa ler que des ser vices régis par ces trois lois peuvent être simu lés par un
réseau de k (resp. r, n) gui chets fic tifs déli vrant cha cun un ser vice régi par une loi
ex ponen tielle. Cela per met de modé li ser des fils d’attente où inter viennent de telles lois,
à l’aide d’un pro ces sus de Markov mais moyen nant une démul ti pli cation des états.
• S est le nombre de sta tions fonc tion nant en paral lèle ; en l’absence de pré ci sion, toutes
ces sta tions sont répu tées équi va lentes : elles ont le même taux moyen de ser vice.
• N est la « capa cité », c’est àdire le nombre maximal de clients admis sibles dans le
sys tème (file et sta tion(s)). Si cette indi ca tion est omise, c’est que N 5 ` : le sys tème a
une capa cité illi mi tée (ou assez grande pour que tout se passe comme si N 5 `).
• La dis ci pline n’est spé ci fiée que dans la règle n’est pas « pre mier arrivé, pre mier
à être servi » (PAPS ; en anglais : FIFO). D’autres dis ci plines existent, notam ment
« pro ces seur par tagé » (« round robin ») ou DAPS (en anglais LIFO) : « der nier
arrivé, pre mier au ser vice », qui se ren contrent en infor ma tique.
7.3 FiLe à une sta tion. sys tème ouvert : FiLe M/M/1
Consi dé rons le cas où il existe une seule sta tion, les arri vées des clients for mant un
pro ces sus de Pois son de taux l et le temps de ser vice sui vant une loi expo nen tielle de
taux m. On obser vera que l est le nombre moyen d’arri vées par unité de temps, m, le
nombre moyen de clients pou vant être ser vis par unité de temps ; ainsi
1
m est la durée
moyenne d’un ser vice. Nous avons étu dié en détail le pro ces sus de Pois son et la loi
expo nen tielle au cha pitre 5 auquel le lec teur pourra se repor ter (de 5.2.1 à 5.2.3).
Nous pour rions nous contenter, pour ce qui est de la modé li sa tion de cette file, de
ren voyer le lec teur aux pro ces sus de nais sance et de mort que nous avons envi sa gés
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L’expé rience montre que, dans beau coup de phé no mènes d’attente, les lois des
arri vées et des ser vices sont, res pec ti ve ment, poissonniennes et expo nen tielles. Ce
ne sont évi dem ment pas les seules formes que peuvent affec ter ces lois, mais ce sont
les plus fré quentes et aussi les plus simples à employer pour obte nir un exposé facile
des prin cipes et de la théo rie des phé no mènes d’attente.
La nota tion de Kendall a pour but de décrire, de manière com pacte, les carac té ris tiques
d’un sys tème avec attente, en lui asso ciant une chaîne de carac tères comme ci dessous :
A/B/S/N/ dis ci pline
• A est le code de la loi des arri vées ; pour la loi de Pois son on a A 5 M (M, en fait ici,
pour Markov) ; pour des arri vées déter mi nistes, c’est- à-dire à inter valles constants,
on a A 5 D ; pour une loi quel conque, géné rale, on aurait A 5 G, etc.
• B est le code de la loi des ser vices ; pour la loi expo nen tielle on a B 5 M ; on aurait
B 5 D pour des ser vices de durée constante, B 5 G pour une loi géné rale.
On peut ren contrer d’autres codes, le cas Markovien étant le plus fré quent. Ainsi E k
désigne une loi d’Erlang- k (moins dis per sée que la loi de Pois son), H r désigne une
loi Hyper expotentielle d’ordre r (davan tage dis per sée que la loi de Pois son), C n une
loi de Cox d’ordre n. L’exposé de ces lois sort du cadre de cet ouvrage ; contentonsnous de signa ler que des ser vices régis par ces trois lois peuvent être simu lés par un
réseau de k (resp. r, n) gui chets fic tifs déli vrant cha cun un ser vice régi par une loi
ex ponen tielle. Cela per met de modé li ser des fils d’attente où inter viennent de telles lois,
à l’aide d’un pro ces sus de Markov mais moyen nant une démul ti pli cation des états.
• S est le nombre de sta tions fonc tion nant en paral lèle ; en l’absence de pré ci sion, toutes
ces sta tions sont répu tées équi va lentes : elles ont le même taux moyen de ser vice.
• N est la « capa cité », c’est àdire le nombre maximal de clients admis sibles dans le
sys tème (file et sta tion(s)). Si cette indi ca tion est omise, c’est que N 5 ` : le sys tème a
une capa cité illi mi tée (ou assez grande pour que tout se passe comme si N 5 `).
• La dis ci pline n’est spé ci fiée que dans la règle n’est pas « pre mier arrivé, pre mier
à être servi » (PAPS ; en anglais : FIFO). D’autres dis ci plines existent, notam ment
« pro ces seur par tagé » (« round robin ») ou DAPS (en anglais LIFO) : « der nier
arrivé, pre mier au ser vice », qui se ren contrent en infor ma tique.
7.3 FiLe à une sta tion. sys tème ouvert : FiLe M/M/1
Consi dé rons le cas où il existe une seule sta tion, les arri vées des clients for mant un
pro ces sus de Pois son de taux l et le temps de ser vice sui vant une loi expo nen tielle de
taux m. On obser vera que l est le nombre moyen d’arri vées par unité de temps, m, le
nombre moyen de clients pou vant être ser vis par unité de temps ; ainsi
1
m est la durée
moyenne d’un ser vice. Nous avons étu dié en détail le pro ces sus de Pois son et la loi
expo nen tielle au cha pitre 5 auquel le lec teur pourra se repor ter (de 5.2.1 à 5.2.3).
Nous pour rions nous contenter, pour ce qui est de la modé li sa tion de cette file, de
ren voyer le lec teur aux pro ces sus de nais sance et de mort que nous avons envi sa gés