7.2 Loi des arri vées. Loi des ser vices
271
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
Cette maté ria li sa tion du
pas sage des clients d’un
état dans un autre est
sim ple ment utile pour
pré ci ser le voca bu laire
employé dans la théo
rie des phé no mènes
d’attente.
On a, en effet, cou tume d’appe ler file d’attente l’ensemble des clients qui attendent
d’être ser vis, à l’exclu sion de celui ou ceux en train de se faire ser vir.
On nomme sys tème avec attente l’ensemble des clients qui font la queue, y com
pris celui ou ceux au ser vice. Le phé no mène d’attente s’étend à tous les clients
pos sibles (dans le cas de sys tèmes bou clés, nom més réseaux de files d’attente,
les mêmes clients reviennent plus tard à l’entrée – par exemple des machines qui
tombent en panne dans un ate lier –, le nombre des clients est alors, en géné ral, fini).
Ces appel la tions se géné ra lisent et prennent sur tout leur inté rêt dans les situa tions
où coexistent plu sieurs sta tions et plu sieurs files d’attente. Atten tion : en amé ri cain
“queue” désigne tout le sys tème d’attente.
Nous dis tin gue rons donc deux types prin ci paux de sys tèmes avec attente : le sys
tème ouvert, dans lequel le nombre de clients poten tiels est très élevé (cas des gui
chets publics, des grands maga sins, etc.), au point qu’on peut consi dé rer qu’il est
illi mité ; le sys tème avec attente fermé, dans lequel le nombre de client est limité (cas
d’un ate lier dans lequel existe un ser vice de répa ra tion de machines) ; dans les deux
cas il peut y avoir une ou plu sieurs files d’attente.
La théo rie des files d’attente remonte aux pre miers tra vaux du Danois K. Erlang,
en 1917, sur le cal cul du nombre d’organes de chaque type à ins tal ler dans un cen tral
télé phonique auto ma tique. Déve lop pé aussi par Engset (1918), cette théo rie s’est ampli -
fiée sous l’impul sion de nom breux chercheurs, parmi les quels il faut citer E. Borel,
D. Kendall, A. Kolmogorov, Khintchine, LC. Palm, F. Pollaczek, L. Feller, etc. Les
infor ma ti ciens l’uti lisent, notam ment pour l’éva lua tion de per for mances – à titre
pré vi sion nel – des sys tèmes ou des réseaux infor ma tiques depuis les années 1970.
7.2 Loi des arri vées. Loi des ser vices
Reve nons au phé no mène d’attente le plus simple où il n’existe qu’une queue et
qu’une sta tion.
Le cas inté res sant est celui où deux phé no mènes aléa toires sont conju gués : les
clients arrivent au hasard et le temps passé à la sta tion par chaque client est aléa toire.
Par exemple, les auto mo bi listes arrivent au hasard à un parc de sta tion ne ment (cela
veut dire : l’heure d’arri vée de cha cun est aléa toire) ; ils y sta tionnent un temps variable
qui ne peut être prévu pour cha cun d’eux (c’est encore une variable aléa toire).
Peut- on carac té ri ser sta tisti que ment la manière dont les clients arrivent au parc et
la durée de leur sta tion ne ment ? L’occupation des places de ce parking ?
Entrée
(queue)
Sortie
File d’attente
Station
Figure 7.1
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Cette maté ria li sa tion du
pas sage des clients d’un
état dans un autre est
sim ple ment utile pour
pré ci ser le voca bu laire
employé dans la théo
rie des phé no mènes
d’attente.
On a, en effet, cou tume d’appe ler file d’attente l’ensemble des clients qui attendent
d’être ser vis, à l’exclu sion de celui ou ceux en train de se faire ser vir.
On nomme sys tème avec attente l’ensemble des clients qui font la queue, y com
pris celui ou ceux au ser vice. Le phé no mène d’attente s’étend à tous les clients
pos sibles (dans le cas de sys tèmes bou clés, nom més réseaux de files d’attente,
les mêmes clients reviennent plus tard à l’entrée – par exemple des machines qui
tombent en panne dans un ate lier –, le nombre des clients est alors, en géné ral, fini).
Ces appel la tions se géné ra lisent et prennent sur tout leur inté rêt dans les situa tions
où coexistent plu sieurs sta tions et plu sieurs files d’attente. Atten tion : en amé ri cain
“queue” désigne tout le sys tème d’attente.
Nous dis tin gue rons donc deux types prin ci paux de sys tèmes avec attente : le sys
tème ouvert, dans lequel le nombre de clients poten tiels est très élevé (cas des gui
chets publics, des grands maga sins, etc.), au point qu’on peut consi dé rer qu’il est
illi mité ; le sys tème avec attente fermé, dans lequel le nombre de client est limité (cas
d’un ate lier dans lequel existe un ser vice de répa ra tion de machines) ; dans les deux
cas il peut y avoir une ou plu sieurs files d’attente.
La théo rie des files d’attente remonte aux pre miers tra vaux du Danois K. Erlang,
en 1917, sur le cal cul du nombre d’organes de chaque type à ins tal ler dans un cen tral
télé phonique auto ma tique. Déve lop pé aussi par Engset (1918), cette théo rie s’est ampli -
fiée sous l’impul sion de nom breux chercheurs, parmi les quels il faut citer E. Borel,
D. Kendall, A. Kolmogorov, Khintchine, LC. Palm, F. Pollaczek, L. Feller, etc. Les
infor ma ti ciens l’uti lisent, notam ment pour l’éva lua tion de per for mances – à titre
pré vi sion nel – des sys tèmes ou des réseaux infor ma tiques depuis les années 1970.
7.2 Loi des arri vées. Loi des ser vices
Reve nons au phé no mène d’attente le plus simple où il n’existe qu’une queue et
qu’une sta tion.
Le cas inté res sant est celui où deux phé no mènes aléa toires sont conju gués : les
clients arrivent au hasard et le temps passé à la sta tion par chaque client est aléa toire.
Par exemple, les auto mo bi listes arrivent au hasard à un parc de sta tion ne ment (cela
veut dire : l’heure d’arri vée de cha cun est aléa toire) ; ils y sta tionnent un temps variable
qui ne peut être prévu pour cha cun d’eux (c’est encore une variable aléa toire).
Peut- on carac té ri ser sta tisti que ment la manière dont les clients arrivent au parc et
la durée de leur sta tion ne ment ? L’occupation des places de ce parking ?
Entrée
(queue)
Sortie
File d’attente
Station
Figure 7.1