Exercices
265
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
6.8 Dis po ni bi lité asymp to tique d’un appa reil
de fonc tion ne ment inter mit tent
Soit un appa reil fonc tion nant de façon inter mittente (par exemple, un appa reil de
signa li sa tion). Il peut être en état de fonc tion ne ment (état E F ), inac tif (état E I ), en
attente de répa ra tion (état E A ) ou, enfin, en répa ra tion (état E R ). On appelle :
a # Dt, la pro ba bi lité pour que l’appa reil fonc tion nant à t, tombe en panne entre t
et t 1 Dt.
b # Dt, la pro ba bi lité pour que l’appa reil en fonc tion ne ment à t, devienne inac tif
entre t et t 1 Dt.
m # Dt, la pro ba bi lité pour que l’appa reil en répa ra tion à t, soit fini d’étre répa ré
entre t et t 1 Dt (il sera alors rendu à l’état inac tif).
l # Dt, la pro ba bi lité pour que l’appa reil inac tif à t, soit mis en fonc tion ne ment
entre t et t 1 Dt.
v # Dt, la pro ba bi lité pour que l’appa reil en attente de répar tition t, com mence à
être réparé entre t et t 1 Dt.
Jus ti fier que le pro ces sus de Markov asso cié admet un régime per manent pour les
pro ba bi li tés de ces états, indé pen dant des condi tions ini tiales (d’ailleurs non spé ci
fiées dans cet énoncé !). Éva luer alors la pro ba bi lité de l’état E F , qui est l’utilisation
asymp to tique de l’appa reil, notée U*.
6.9 Para mètres de la sûreté de fonc tion ne ment d’un ate lier.
On consi dère un ate lier de fabri ca tion com por tant Ν machines iden tiques, d’uti li
sation constante (quand elles ne sont pas en panne). Chaque machine a la même
fia bi lité v(t) 5 e
2lt
.
Dès qu’une machine tombe en panne, un tech ni cien vient la répa rer ; on peut faire
appel à autant de tech ni ciens qu’il est néces saire. La pro ba bi lité pour qu’une répa ra
tion dure plus que le laps de temps t est : e
2mt
.
1. Modé li ser le fonc tion ne ment de l’ate lier par un pro ces sus de Markov.
Quels sont les N 1 1 états de ce pro ces sus ?
Tra cer le graphe des tran si tions entre t et t 1 dt et valuer chaque arc par la
pro ba bi lité de tran si tion asso ciée.
2. Jus ti fier le fait que ce pro ces sus est for te ment ergodique. Éva luer alors
la pro ba bi lité de chaque état en régime per manent, puis le nombre moyen
n de machines en marche. Quelle est la dis po ni bi lité D* de cet ate lier (au
moins une machine en marche) ?
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6.8 Dis po ni bi lité asymp to tique d’un appa reil
de fonc tion ne ment inter mit tent
Soit un appa reil fonc tion nant de façon inter mittente (par exemple, un appa reil de
signa li sa tion). Il peut être en état de fonc tion ne ment (état E F ), inac tif (état E I ), en
attente de répa ra tion (état E A ) ou, enfin, en répa ra tion (état E R ). On appelle :
a # Dt, la pro ba bi lité pour que l’appa reil fonc tion nant à t, tombe en panne entre t
et t 1 Dt.
b # Dt, la pro ba bi lité pour que l’appa reil en fonc tion ne ment à t, devienne inac tif
entre t et t 1 Dt.
m # Dt, la pro ba bi lité pour que l’appa reil en répa ra tion à t, soit fini d’étre répa ré
entre t et t 1 Dt (il sera alors rendu à l’état inac tif).
l # Dt, la pro ba bi lité pour que l’appa reil inac tif à t, soit mis en fonc tion ne ment
entre t et t 1 Dt.
v # Dt, la pro ba bi lité pour que l’appa reil en attente de répar tition t, com mence à
être réparé entre t et t 1 Dt.
Jus ti fier que le pro ces sus de Markov asso cié admet un régime per manent pour les
pro ba bi li tés de ces états, indé pen dant des condi tions ini tiales (d’ailleurs non spé ci
fiées dans cet énoncé !). Éva luer alors la pro ba bi lité de l’état E F , qui est l’utilisation
asymp to tique de l’appa reil, notée U*.
6.9 Para mètres de la sûreté de fonc tion ne ment d’un ate lier.
On consi dère un ate lier de fabri ca tion com por tant Ν machines iden tiques, d’uti li
sation constante (quand elles ne sont pas en panne). Chaque machine a la même
fia bi lité v(t) 5 e
2lt
.
Dès qu’une machine tombe en panne, un tech ni cien vient la répa rer ; on peut faire
appel à autant de tech ni ciens qu’il est néces saire. La pro ba bi lité pour qu’une répa ra
tion dure plus que le laps de temps t est : e
2mt
.
1. Modé li ser le fonc tion ne ment de l’ate lier par un pro ces sus de Markov.
Quels sont les N 1 1 états de ce pro ces sus ?
Tra cer le graphe des tran si tions entre t et t 1 dt et valuer chaque arc par la
pro ba bi lité de tran si tion asso ciée.
2. Jus ti fier le fait que ce pro ces sus est for te ment ergodique. Éva luer alors
la pro ba bi lité de chaque état en régime per manent, puis le nombre moyen
n de machines en marche. Quelle est la dis po ni bi lité D* de cet ate lier (au
moins une machine en marche) ?