6.8 Stra té gie de rem pla ce ment
259
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
(En fait, en uti li sant un théo rème de cal cul opé ra tion nel : 3
`
0
V(t) dt 5 lim
sS0
V
, (s)
s ,
on obtient plus rapi de ment : MTFF 5 lim
sSo
1
s
#
s # (s 1 3l 1 m)
s
2 1 s(3l 1 m) 1 2l
2
5
3l 1 m
2l
2
)
• Mais le cal cul direct du MTFF est pos sible sans avoir à éva luer la fiabilité V(t)
(ni même la trans for mée de Carson Laplace V
, (s)), si on uti lise l’absorp tion dans
les pro ces sus de Markov. Consi dé rons les états tran si toires Ε 0 , Ε 1 , c , E k21 (les
autres états étant absor bants) ; notons t j le temps moyen passé dans l’état tran si
toire E j , avant absorp tion ; extrayons du géné ra teur infi ni té si mal A la sous matrice
car rée A tr de dimension k 3 k rela tive aux états tran si toires. Enfin, notons T tr le
vecteur ligne : 3t 0 , t 1 , c , t k21 4 et P tr (0) 5 3p 0 (0), p 1 (0), c , p k21 (0) 4.
On montre que l’on a la rela tion : T tr 5 P tr (0) # 3A tr 4
21
.
En pra tique, on résout le sys tème linéaire de k équa tions à k inconnues :
T tr # A tr 5 2P tr (0).
On cal cule alors : MTFF 5 a
k21
k50
t i
Ainsi pour l’exemple : P(0) 5 31, 04, A tr 5 c
22l
2l
m 2(l 1 m)
d , T tr 5 3t 0 , t 1 4.
D’où le sys tème : 22 l # t 0 1 m # t 1 5 21 et 2 l # t 0 2 (l 1 m) # t 1 5 0, qui a pour
solu tion :
t 0 5
l 1 m
2l
2
et t 1 5
1
l
.
Fina le ment on retrouve le résul tat obtenu plus haut :
MTFF 5 t 0 1 t 1 5
3 l 1 m
2l
2
.
6.8 stra té gie De rem pla ce ment
Il est conseillé de relire d’abord le sous chapitre 5.10.
Consi dé rons un équi pe ment qui peut se trou ver dans quatre états. S’il devient
défaillant au cours d’une période, il est rem placé en fin de période. S’il se trouve, en
début de période, dans l’état 0, il a “deux chances sur dix” d’être défaillant en cours
de période et, par dif fé rence, “huit chances sur dix” de sur vivre. Dans l’état 1, en
début de période, la pro ba bi lité pour qu’il soit défaillant au cours de la période est
0,5 ; la pro ba bi lité de sur vie, 0,5. Dans l’état 2, en début de période, les pro ba bi li
tés res pec tives de défaillance et de sur vie sont 0,7 et 0,3. Enfin, si l’équi pe ment se
trouve dans l’état 3 en début de période, il sera sûre ment défaillant avant la fin de la
période et sera rem placé en fin de période.
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
(En fait, en uti li sant un théo rème de cal cul opé ra tion nel : 3
`
0
V(t) dt 5 lim
sS0
V
, (s)
s ,
on obtient plus rapi de ment : MTFF 5 lim
sSo
1
s
#
s # (s 1 3l 1 m)
s
2 1 s(3l 1 m) 1 2l
2
5
3l 1 m
2l
2
)
• Mais le cal cul direct du MTFF est pos sible sans avoir à éva luer la fiabilité V(t)
(ni même la trans for mée de Carson Laplace V
, (s)), si on uti lise l’absorp tion dans
les pro ces sus de Markov. Consi dé rons les états tran si toires Ε 0 , Ε 1 , c , E k21 (les
autres états étant absor bants) ; notons t j le temps moyen passé dans l’état tran si
toire E j , avant absorp tion ; extrayons du géné ra teur infi ni té si mal A la sous matrice
car rée A tr de dimension k 3 k rela tive aux états tran si toires. Enfin, notons T tr le
vecteur ligne : 3t 0 , t 1 , c , t k21 4 et P tr (0) 5 3p 0 (0), p 1 (0), c , p k21 (0) 4.
On montre que l’on a la rela tion : T tr 5 P tr (0) # 3A tr 4
21
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En pra tique, on résout le sys tème linéaire de k équa tions à k inconnues :
T tr # A tr 5 2P tr (0).
On cal cule alors : MTFF 5 a
k21
k50
t i
Ainsi pour l’exemple : P(0) 5 31, 04, A tr 5 c
22l
2l
m 2(l 1 m)
d , T tr 5 3t 0 , t 1 4.
D’où le sys tème : 22 l # t 0 1 m # t 1 5 21 et 2 l # t 0 2 (l 1 m) # t 1 5 0, qui a pour
solu tion :
t 0 5
l 1 m
2l
2
et t 1 5
1
l
.
Fina le ment on retrouve le résul tat obtenu plus haut :
MTFF 5 t 0 1 t 1 5
3 l 1 m
2l
2
.
6.8 stra té gie De rem pla ce ment
Il est conseillé de relire d’abord le sous chapitre 5.10.
Consi dé rons un équi pe ment qui peut se trou ver dans quatre états. S’il devient
défaillant au cours d’une période, il est rem placé en fin de période. S’il se trouve, en
début de période, dans l’état 0, il a “deux chances sur dix” d’être défaillant en cours
de période et, par dif fé rence, “huit chances sur dix” de sur vivre. Dans l’état 1, en
début de période, la pro ba bi lité pour qu’il soit défaillant au cours de la période est
0,5 ; la pro ba bi lité de sur vie, 0,5. Dans l’état 2, en début de période, les pro ba bi li
tés res pec tives de défaillance et de sur vie sont 0,7 et 0,3. Enfin, si l’équi pe ment se
trouve dans l’état 3 en début de période, il sera sûre ment défaillant avant la fin de la
période et sera rem placé en fin de période.