Chapitre 6 • Fiabilité des composants, sûreté. . .
258
L’arc (E 2 , E 1 ) a été sup primé : l’état de panne E 2 a été rendu absor bant (il com
porte une boucle valuée par une pro ba bi lité de tran si tion égale à 1).
Sachant qu’à t 5 0 aucune panne n’est sur ve nue (le sys tème est dans l’état E 0 ), le
pro blème revient à cal cu ler p 0 (t) et p 1 (t) (donc en régime tran si toire), puisque :
V1 t 2 5 p 0 1 t 2 1 p 1 1 t 2 .
Soit A le géné ra teur infi ni té si mal du pro ces sus de Markov. On résout
Pr(t) 5 P(t) # A, de pré fé rence à l’aide de la trans for mée de Carson Laplace
(1)
:
V
, (s) 5 s 3
`
0
V(t)e
2st
dt).
p r
0 (t) 5 22l # p 0 (t) 1 m # p 1 (t) ; p r
1 (t) 5 2(l 1 m) # p 1 (t) 1 2 l # p 0 (t)
avec, comme condi tion ini tiale : p 0 (0) 5 1.
On trouve V
,
(s) 5
s # (s 1 3l 1 m)
s
2 1 s(3l 1 m) 1 2l
2
. Or, l’original de
s 1 s 1 c 2
1 s 1 a 2 1 s 1 b 2
est :
a 2 c
a 2 b
e
2at 2
b 2 c
a 2 b
e
2bt
. D’où : V 1 t 2 5
1
"D
3ae
2bt 2 be
2a t
4, où :
D 5 l
2 1 6lm 1 m
2
; a 5
3 l 1 m 1 "D
2
; b 5
3 l 1 m 2 "D
2
.
Notons que, pour m 5 0, (c’est àdire en l’absence de répa ra tion), on retrouve :
V(t) 5 2e
2lt 2 e
22lt
(alors "D 5 l, a 5 2l, b 5 l), expres sion que l’on avait aisé ment obte nue au
para graphe consa cré aux sys tèmes paral lèles non répa rables.
Le lec teur en a déjà été averti : le cal cul for mel d’un régime tran si toire est sou vent
lourd, voire impra ti cable (même en dis po sant d’un logi ciel du type Mathematica).
Cepen dant, nous allons voir que le cal cul du MTFF (Mean Time To First Failure) :
temps moyen jus qu’à la pre mière panne para ly sante, peut se pra ti quer plus aisé ment.
Certes, si l’on a déjà éva lué V(t) comme ci dessus, on a : MTFF 5 3
`
0
V(t) # dt ;
sachant que : 3
`
0
e
2gt # dt 5
1
g (g . 0), il vient :
MTFF 5
1
"D
c
a
b
2
b
a
d 5
(a 1 b)(a 2 b)
"D # a b
5
(3 l 1 m) # "D
"D # 2l
2
5
3 l 1 m
2l
2
.
1. Si le lec teur ne connaît pas la trans for mée de Carson- Laplace, il peut sau ter ce déve lop pe ment
et pas ser au paragraphe ci-dessous (commençant par “cependant, nous...”).
(1)
258
L’arc (E 2 , E 1 ) a été sup primé : l’état de panne E 2 a été rendu absor bant (il com
porte une boucle valuée par une pro ba bi lité de tran si tion égale à 1).
Sachant qu’à t 5 0 aucune panne n’est sur ve nue (le sys tème est dans l’état E 0 ), le
pro blème revient à cal cu ler p 0 (t) et p 1 (t) (donc en régime tran si toire), puisque :
V1 t 2 5 p 0 1 t 2 1 p 1 1 t 2 .
Soit A le géné ra teur infi ni té si mal du pro ces sus de Markov. On résout
Pr(t) 5 P(t) # A, de pré fé rence à l’aide de la trans for mée de Carson Laplace
(1)
:
V
, (s) 5 s 3
`
0
V(t)e
2st
dt).
p r
0 (t) 5 22l # p 0 (t) 1 m # p 1 (t) ; p r
1 (t) 5 2(l 1 m) # p 1 (t) 1 2 l # p 0 (t)
avec, comme condi tion ini tiale : p 0 (0) 5 1.
On trouve V
,
(s) 5
s # (s 1 3l 1 m)
s
2 1 s(3l 1 m) 1 2l
2
. Or, l’original de
s 1 s 1 c 2
1 s 1 a 2 1 s 1 b 2
est :
a 2 c
a 2 b
e
2at 2
b 2 c
a 2 b
e
2bt
. D’où : V 1 t 2 5
1
"D
3ae
2bt 2 be
2a t
4, où :
D 5 l
2 1 6lm 1 m
2
; a 5
3 l 1 m 1 "D
2
; b 5
3 l 1 m 2 "D
2
.
Notons que, pour m 5 0, (c’est àdire en l’absence de répa ra tion), on retrouve :
V(t) 5 2e
2lt 2 e
22lt
(alors "D 5 l, a 5 2l, b 5 l), expres sion que l’on avait aisé ment obte nue au
para graphe consa cré aux sys tèmes paral lèles non répa rables.
Le lec teur en a déjà été averti : le cal cul for mel d’un régime tran si toire est sou vent
lourd, voire impra ti cable (même en dis po sant d’un logi ciel du type Mathematica).
Cepen dant, nous allons voir que le cal cul du MTFF (Mean Time To First Failure) :
temps moyen jus qu’à la pre mière panne para ly sante, peut se pra ti quer plus aisé ment.
Certes, si l’on a déjà éva lué V(t) comme ci dessus, on a : MTFF 5 3
`
0
V(t) # dt ;
sachant que : 3
`
0
e
2gt # dt 5
1
g (g . 0), il vient :
MTFF 5
1
"D
c
a
b
2
b
a
d 5
(a 1 b)(a 2 b)
"D # a b
5
(3 l 1 m) # "D
"D # 2l
2
5
3 l 1 m
2l
2
.
1. Si le lec teur ne connaît pas la trans for mée de Carson- Laplace, il peut sau ter ce déve lop pe ment
et pas ser au paragraphe ci-dessous (commençant par “cependant, nous...”).
(1)