6.7 Sûreté de fonc tion ne ment des sys tèmes répa rables
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MDT 5
p
*
2
l # p
*
1
5
p
*
2
m # p
*
2
5
1
m ; MTBF 5
2l 1 m
2l
2
1
1
m
On retrouve : D
* 5
MUT
MTBF
5
(2 l 1 m)/2l
2
(2 l m 1 m
2 1 2 l
2
)/2 l
2 m
5
2 l m 1 m
2
2 l m 1 m
2 1 2l
2
.
En divi sant le numé ra teur et le déno mi na teur par m
2
, on retrouve bien :
D
* 5
1 1 (2 l / m)
1 1 (2 l / m) 1 (2 l
2
/ m
2
)
.
Remar quons enfin que le fonc tion ne ment d’un sys tème (pour lequel les durées de
répa ra tions sont petites par rap port aux temps entre défaillances) est modélisable par
un pro ces sus de Markov... à deux états :
Figure 6.26
où E 0 désigne le macro­ état de fonc tion ne ment cor rect et E 1 , celui de défaillance. On
a les taux équi va lents : l éq 5
1
MUT
et m éq 5
1
MDT
.
Dans ce cas, on a sim ple ment : D
* 5 p
*
0 5
MUT
MUT 1 MDT
car d’après le théo ­
rème des coupes l éq # p
*
0 5 m éq # p
*
1 et, en outre, p
*
0 1 p
*
1 5 1, conduisent à :
p
*
0 5
m éq
l éq 1 m éq
5
1 / MDT
1 / MUT 1 1 / MDT
, c est-à-dire :
MUT
MUT 1 MDT
.
6.7.4 Fia bi lité des sys tèmes répa rables
On défi nit dans ce cas la fia bi lité V(t) comme la pro ba bi lité que la durée de fonc ­
tion ne ment T en mode cor rect du sys tème (à par tir de t 5 0) dépasse la durée
t : V 1 t 2 5 P3T . t 4.
Pour un sys tème modé lisé par un pro ces sus de Markov, on rend alors absor bant
l’état (ou les états) cor res pon dant à des modes de fonc tion ne ment dégradé inac cep ­
tables. Ainsi, dans notre exemple :
Figure 6.27
’