6.7 Sûreté de fonc tion ne ment des sys tèmes répa rables
255
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
tendent vers une limite quand t S 1` : P
* 5 3p
*
0 , p
*
1 , p
*
2 4 posi tive, indé pen dante
de la dis tri bu tion ini tiale P(0).
6.7.2 Dis po ni bi lité asymp to tique D*
On défi nit la « dis po ni bi lité » asymp to tique D
*
de ce sys tème, comme la pro ba bi lité
pour, qu’en régime per manent, le sys tème rem plisse, au moins, une fonc tion mini
male spé ci fiée à l’avance. Ici, on demandera qu’au moins l’un des deux com po sants
fonc tionne. On a alors : D
* 5 a
E i PFC
p
*
i , où FC est l’ensemble des états pour les quels
cette fonc tion mini male est assu rée.
Il convient alors, pour éva luer D
*
, de cal cu ler les pro ba bi li tés des états en régime
per manent 1 t S ` 2 : on résout le sys tème linéaire b
0 5 P
* # A
1 5 a p
*
i
, où A désigne le
géné ra teur infi ni té si mal du pro ces sus de Markov. Ici, on a :
A 5
0
1
2
≥
0
1
2
22l
2l
0
m 2(l 1 m) l
0
m
2m
¥ .
On peut aussi appli quer le théo rème des coupes (pour lequel il suf fit de consi dé rer
le graphe sim pli fié):
– Pour C 0 5 {E 0 } :
2l # p
*
0 5 m # p
*
1 .
– Pour C 1 5 {E 0 , E 1 } :
l # p
*
1 5 m # p
*
2 ,
et : p
*
0 1 p
*
1 1 p
*
2 5 1.
On obtient D
* 5
1 1 2l/m
1 1 2l/m 1 2l
2
/m
2
. On véri fie que D
* , 1 et que, si l / m est
petit, c’est àdire que le taux de répa ra tion est très supé rieur au taux de panne, D
*
est voi sin de 1 ; on aurait, pour l 5 0, D
* 5 1 : un sys tème sans panne est tou jours
dis po nible !
On pour rait aussi chercher la dis po ni bi lité à l’ins tant t : D(t), connais sant la dis
tri bu tion ini tiale des pro ba bi li tés des états, mais ce cal cul de régime tran si toire est
plus déli cat.
C 1
C 0
Figure 6.24
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tendent vers une limite quand t S 1` : P
* 5 3p
*
0 , p
*
1 , p
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2 4 posi tive, indé pen dante
de la dis tri bu tion ini tiale P(0).
6.7.2 Dis po ni bi lité asymp to tique D*
On défi nit la « dis po ni bi lité » asymp to tique D
*
de ce sys tème, comme la pro ba bi lité
pour, qu’en régime per manent, le sys tème rem plisse, au moins, une fonc tion mini
male spé ci fiée à l’avance. Ici, on demandera qu’au moins l’un des deux com po sants
fonc tionne. On a alors : D
* 5 a
E i PFC
p
*
i , où FC est l’ensemble des états pour les quels
cette fonc tion mini male est assu rée.
Il convient alors, pour éva luer D
*
, de cal cu ler les pro ba bi li tés des états en régime
per manent 1 t S ` 2 : on résout le sys tème linéaire b
0 5 P
* # A
1 5 a p
*
i
, où A désigne le
géné ra teur infi ni té si mal du pro ces sus de Markov. Ici, on a :
A 5
0
1
2
≥
0
1
2
22l
2l
0
m 2(l 1 m) l
0
m
2m
¥ .
On peut aussi appli quer le théo rème des coupes (pour lequel il suf fit de consi dé rer
le graphe sim pli fié):
– Pour C 0 5 {E 0 } :
2l # p
*
0 5 m # p
*
1 .
– Pour C 1 5 {E 0 , E 1 } :
l # p
*
1 5 m # p
*
2 ,
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*
0 1 p
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1 1 p
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2 5 1.
On obtient D
* 5
1 1 2l/m
1 1 2l/m 1 2l
2
/m
2
. On véri fie que D
* , 1 et que, si l / m est
petit, c’est àdire que le taux de répa ra tion est très supé rieur au taux de panne, D
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est voi sin de 1 ; on aurait, pour l 5 0, D
* 5 1 : un sys tème sans panne est tou jours
dis po nible !
On pour rait aussi chercher la dis po ni bi lité à l’ins tant t : D(t), connais sant la dis
tri bu tion ini tiale des pro ba bi li tés des états, mais ce cal cul de régime tran si toire est
plus déli cat.
C 1
C 0
Figure 6.24