6.5 Un autre com pro mis : l’entre tien pré ven tif
245
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
Mon trons que les deux expres sions de t ci dessous sont bien égales :
3
0
t # f(t) # dt 5 2 3
0
t # dv(t) 5 2 3tv 4
0 1 3
0
v(t) # dt 5 2v ( ) 1 3
0
v(t) # dt ;
ainsi :
t 5 3
0
t # f(t) # dt 1 # v( ) 5 2 # v( ) 1 3
0
v(t) # dt 1 # v( ) 5 3
0
v(t) # dt ■
Pour que l’entre tien pré ven tif soit avan ta geux, il faut qu’il existe au moins une
époque θ telle que l’on ait : C 2 1 2 , C 1 , c’est àdire :
p 1 31 2 v( ) 4P
t
,
p 1 P
t
ou :
p # t 1 P # t 2 P # v( ) # t , (p 1 P) # t ;
mais :
t 5 t 2 t avec : t 5 3
`
v(t) # dt.
Il vient donc :
2P # v( ) # t , 2(p 1 P) # t ,
d’où :
p 1 P
P
,
v1 2 # t
t
,
soit encore :
C 1 , P #
v1 2
t
.
Dans ces condi tions, c’est àdire si : C 1 , P #
v1 2
t
, l’époque la plus favo rable
pour l’entre tien pré ven tif sera évi dem ment la valeur θ ren dant C 2 (θ) mini mal.
Or, C 2 (θ) est géné ra le ment une fonc tion tout d’abord décrois sante, puis crois sante
de θ (on écrit plus bas, en abrégé : v, au lieu de : v(θ)).
Cal cu lons
dC 2 1 2
d
; on a :
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
Mon trons que les deux expres sions de t ci dessous sont bien égales :
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t # f(t) # dt 5 2 3
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t # dv(t) 5 2 3tv 4
0 1 3
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v(t) # dt 5 2v ( ) 1 3
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v(t) # dt ;
ainsi :
t 5 3
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t # f(t) # dt 1 # v( ) 5 2 # v( ) 1 3
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v(t) # dt 1 # v( ) 5 3
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v(t) # dt ■
Pour que l’entre tien pré ven tif soit avan ta geux, il faut qu’il existe au moins une
époque θ telle que l’on ait : C 2 1 2 , C 1 , c’est àdire :
p 1 31 2 v( ) 4P
t
,
p 1 P
t
ou :
p # t 1 P # t 2 P # v( ) # t , (p 1 P) # t ;
mais :
t 5 t 2 t avec : t 5 3
`
v(t) # dt.
Il vient donc :
2P # v( ) # t , 2(p 1 P) # t ,
d’où :
p 1 P
P
,
v1 2 # t
t
,
soit encore :
C 1 , P #
v1 2
t
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Dans ces condi tions, c’est àdire si : C 1 , P #
v1 2
t
, l’époque la plus favo rable
pour l’entre tien pré ven tif sera évi dem ment la valeur θ ren dant C 2 (θ) mini mal.
Or, C 2 (θ) est géné ra le ment une fonc tion tout d’abord décrois sante, puis crois sante
de θ (on écrit plus bas, en abrégé : v, au lieu de : v(θ)).
Cal cu lons
dC 2 1 2
d
; on a :