Chapitre 6 • Fiabilité des composants, sûreté. . .
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Lorsque la fia bi lité est expo nen tielle : v(t) 5 e
2lt
, cette récur rence se résout aisé
ment ; on trouve : q m (t) 5
(lt)
m
m!
e
2 lt
, c’est àdire que l’on retrouve une loi de Pois
son. En effet, on sait que la loi expo nen tielle est la loi de la durée des inter valles de
temps sépa rant deux évé ne ments consé cu tifs (ici : deux pannes) dans un pro ces sus
de Pois son.
Le taux d’appro vi sion ne ment per met le cal cul, pour une période t don née, du
nombre d’équi pe ments néces saires pour cou vrir les besoins en pièces de rechange
dans une limite déter mi née. Sup po sons, par exemple, qu’on veuille assu rer le dépan
nage avec la pro ba bi lité au moins égale à 95%. On aura à cal cu ler m tel que :
a
k 5m
k 50
q k (t) > 0, 95,
On cherchera donc la plus petite valeur de m réa li sant cette condi tion. Notons que
si l’on vou lait assu rer le dépan nage avec la pro ba bi lité 1, il fau drait avoir un stock
de pièces de rechange… infini
1
! En pratique au lieu de 1, on adapte 0,99 ou 0,999
ou...
Les condi tions d’appro vi sion ne ment durant une période de ges tion sont pré ci sées
par la consi dé ra tion du taux d’appro vi sion ne ment. Pour mettre en évi dence cette
notion, il est néces saire de connaître, en fonc tion du temps, le nombre d’équi pe ments
que l’on veut main te nir en état : c’est la fonc tion d’uti li sation (t).
Soit, par exemple, à mettre en ser vice Ν équi pe ments au temps t 5 0, puis à por ter
le nombre de ces équi pe ments à Nr au temps t 5 t 1 , pour le main te nir à cette valeur
jus qu’à t 2 , puis le lais ser décroître régu liè re ment de N à 0 entre t 2 et t 3 . La figure 6.9
repré sente la fonc tion d’uti li sation.
Ima gi nons main te nant que l’axe des temps soit divisé en périodes égales de durée t.
Pour la période 3 1 k 2 12 t , k t 4, le nombre d’appro vi sion ne ment r(t) est :
r 1 kt 2 5 n1 kt 2 2 n 3 1 k 2 12 t 4,
si l’on appelle n(kt) le nombre d’équi pe ments
rem pla cés jus qu’au temps kt.
À chaque période it, les équi pe ments rem pla cés,
au nombre de r(it), étant neufs, seront sou mis à la
loi de sur vie v1 t 2 it 2 , si bien qu’il en res tera en
ser vice au temps t :
r 1 it 2 # v1 t 2 it 2
À toute époque t, on devra avoir, si t 5 rt :
1(t) 5 N # v(t) 1 a
k 5r
k 51
r (kt ) # v(t 2 kt )
1. Ceci est inhé rent à la nature sto chas tique (aléa toire) de l’occu rrence des défaillances.
Figure 6.9
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Lorsque la fia bi lité est expo nen tielle : v(t) 5 e
2lt
, cette récur rence se résout aisé
ment ; on trouve : q m (t) 5
(lt)
m
m!
e
2 lt
, c’est àdire que l’on retrouve une loi de Pois
son. En effet, on sait que la loi expo nen tielle est la loi de la durée des inter valles de
temps sépa rant deux évé ne ments consé cu tifs (ici : deux pannes) dans un pro ces sus
de Pois son.
Le taux d’appro vi sion ne ment per met le cal cul, pour une période t don née, du
nombre d’équi pe ments néces saires pour cou vrir les besoins en pièces de rechange
dans une limite déter mi née. Sup po sons, par exemple, qu’on veuille assu rer le dépan
nage avec la pro ba bi lité au moins égale à 95%. On aura à cal cu ler m tel que :
a
k 5m
k 50
q k (t) > 0, 95,
On cherchera donc la plus petite valeur de m réa li sant cette condi tion. Notons que
si l’on vou lait assu rer le dépan nage avec la pro ba bi lité 1, il fau drait avoir un stock
de pièces de rechange… infini
1
! En pratique au lieu de 1, on adapte 0,99 ou 0,999
ou...
Les condi tions d’appro vi sion ne ment durant une période de ges tion sont pré ci sées
par la consi dé ra tion du taux d’appro vi sion ne ment. Pour mettre en évi dence cette
notion, il est néces saire de connaître, en fonc tion du temps, le nombre d’équi pe ments
que l’on veut main te nir en état : c’est la fonc tion d’uti li sation (t).
Soit, par exemple, à mettre en ser vice Ν équi pe ments au temps t 5 0, puis à por ter
le nombre de ces équi pe ments à Nr au temps t 5 t 1 , pour le main te nir à cette valeur
jus qu’à t 2 , puis le lais ser décroître régu liè re ment de N à 0 entre t 2 et t 3 . La figure 6.9
repré sente la fonc tion d’uti li sation.
Ima gi nons main te nant que l’axe des temps soit divisé en périodes égales de durée t.
Pour la période 3 1 k 2 12 t , k t 4, le nombre d’appro vi sion ne ment r(t) est :
r 1 kt 2 5 n1 kt 2 2 n 3 1 k 2 12 t 4,
si l’on appelle n(kt) le nombre d’équi pe ments
rem pla cés jus qu’au temps kt.
À chaque période it, les équi pe ments rem pla cés,
au nombre de r(it), étant neufs, seront sou mis à la
loi de sur vie v1 t 2 it 2 , si bien qu’il en res tera en
ser vice au temps t :
r 1 it 2 # v1 t 2 it 2
À toute époque t, on devra avoir, si t 5 rt :
1(t) 5 N # v(t) 1 a
k 5r
k 51
r (kt ) # v(t 2 kt )
1. Ceci est inhé rent à la nature sto chas tique (aléa toire) de l’occu rrence des défaillances.
Figure 6.9