6.3 Pro ba bi lité de consom ma tion. appro vi sion ne ments
237
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
6.3 pro ba bi lité De consom ma tion. appro vi sion ne ments
L’étude des courbes (et fonc tions) de sur vie est de nature à favo ri ser la connais sance
de nom breuses quan ti tés signi fi ca tives, telles que la pro ba bi lité de consom ma tion et
le taux d’appro vi sion ne ment que nous définissons ciaprès :
On appelle pro ba bi lité de consom ma tion durant le temps t, la pro ba bi lité d’avoir
à rem pla cer une quan tité déter mi née d’équi pe ments défaillants. On dési gnera par
q m (t) la pro ba bi lité d’avoir m défaillances dans l’inter valle de temps [0, t]. D’après la
défi ni tion même de la courbe de sur vie on a :
q 0 1 t 2 5
n1 t 2
n 1 02
5 v1 t 2 ,
car, si un équi pe ment sur vit à t, on n’aura pas à le rem pla cer jus qu’à cette date…
Cherc hons main te nant à éva luer q 1 (t). Pour cela, sup po sons que l’inter valle de
temps [0, t] soit divisé en r sous périodes de durée t ; pour qu’à l’époque t on n’ait
qu’un rem pla ce ment à exé cu ter, il faut que l’équi pe ment ini tial ait été défaillant
entre 1 k 2 12 t et kt 1 1 < k < r 2 et que l’équi pe ment neuf subs ti tué à l’équi pe ment
rem placé ait sur vécu de kt à t.
La pro ba bi lité pour qu’il y ait une défaillance entre 1 k 2 12 t et kt est égale à :
p k t 5
n3 (k 2 1)t 4 2 n(kt )
n(0)
;
celle de sur vie du nou vel équi pe ment n’est autre que :
v1 t 2 kt 2 5
n 1 t 2 kt 2
n 1 02
;
le pro duit de ces deux pro ba bi li tés :
p kt # v1 t 2 kt 2 5
n3 1 k 2 12 t 4 2 n 1 kt 2
n 1 02
3
n 1 t 2 kt 2
n 1 02
,
doit être consi déré pour chaque valeur de k, de 1 à r, d’où :
q 1 (t) 5 a
k 5r
k 51
n3 (k 2 1)t 4 2 n(kt )
n(0)
3
n(t 2 kt )
n(0)
5 a
k 5r
k 51
p k t # v(t 2 kt ).
D’une manière ana logue, on obtiendrait la for mule de récur rence :
q m (t) 5 a
k 5r
k 51
q m 2 1 (t 2 kt ) # p k t ,
En pré sence d’une fonc tion v(t) conti nue, q m (t) est donné par la convo lu tion :
q m (t) 5 2 3
t
0
q m 2 1 (t 2 u) # v r(u) # du 5 3
t
0
q m 2 1 (t 2 u) # i(u) # du
puisque p kt peut être rem placé par 2 vr 1 t 2 # D t lorsque t tend vers zéro.
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6.3 pro ba bi lité De consom ma tion. appro vi sion ne ments
L’étude des courbes (et fonc tions) de sur vie est de nature à favo ri ser la connais sance
de nom breuses quan ti tés signi fi ca tives, telles que la pro ba bi lité de consom ma tion et
le taux d’appro vi sion ne ment que nous définissons ciaprès :
On appelle pro ba bi lité de consom ma tion durant le temps t, la pro ba bi lité d’avoir
à rem pla cer une quan tité déter mi née d’équi pe ments défaillants. On dési gnera par
q m (t) la pro ba bi lité d’avoir m défaillances dans l’inter valle de temps [0, t]. D’après la
défi ni tion même de la courbe de sur vie on a :
q 0 1 t 2 5
n1 t 2
n 1 02
5 v1 t 2 ,
car, si un équi pe ment sur vit à t, on n’aura pas à le rem pla cer jus qu’à cette date…
Cherc hons main te nant à éva luer q 1 (t). Pour cela, sup po sons que l’inter valle de
temps [0, t] soit divisé en r sous périodes de durée t ; pour qu’à l’époque t on n’ait
qu’un rem pla ce ment à exé cu ter, il faut que l’équi pe ment ini tial ait été défaillant
entre 1 k 2 12 t et kt 1 1 < k < r 2 et que l’équi pe ment neuf subs ti tué à l’équi pe ment
rem placé ait sur vécu de kt à t.
La pro ba bi lité pour qu’il y ait une défaillance entre 1 k 2 12 t et kt est égale à :
p k t 5
n3 (k 2 1)t 4 2 n(kt )
n(0)
;
celle de sur vie du nou vel équi pe ment n’est autre que :
v1 t 2 kt 2 5
n 1 t 2 kt 2
n 1 02
;
le pro duit de ces deux pro ba bi li tés :
p kt # v1 t 2 kt 2 5
n3 1 k 2 12 t 4 2 n 1 kt 2
n 1 02
3
n 1 t 2 kt 2
n 1 02
,
doit être consi déré pour chaque valeur de k, de 1 à r, d’où :
q 1 (t) 5 a
k 5r
k 51
n3 (k 2 1)t 4 2 n(kt )
n(0)
3
n(t 2 kt )
n(0)
5 a
k 5r
k 51
p k t # v(t 2 kt ).
D’une manière ana logue, on obtiendrait la for mule de récur rence :
q m (t) 5 a
k 5r
k 51
q m 2 1 (t 2 kt ) # p k t ,
En pré sence d’une fonc tion v(t) conti nue, q m (t) est donné par la convo lu tion :
q m (t) 5 2 3
t
0
q m 2 1 (t 2 u) # v r(u) # du 5 3
t
0
q m 2 1 (t 2 u) # i(u) # du
puisque p kt peut être rem placé par 2 vr 1 t 2 # D t lorsque t tend vers zéro.