6.2 Loi de sur vie : forme ana ly tique
233
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
Ces remarques per mettent d’affir mer que, dans
le pre mier cas (celui de la figure 6.3) on a affaire à
des pièces dites « de fatigue », dont la pro ba bi lité
d’ava rie est constante ; dans ces condi tions, il n’y a
aucun inté rêt à pra ti quer un entre tien pré ven tif sur ce
genre de maté riel, puisqu’une pièce neuve pré sente la
même fra gi lité qu’une pièce usa gée, comme nous le
ver rons plus loin.
Dans le second cas (figure 6.4), on a, au contraire,
affaire à des pièces consti tuant un lot par fai te ment
homo gène ; les maté riels dont la courbe de sur vie
affecte une forme presque rec tan gu laire sont des pièces
« d’usure ». Il y a intérêt à les réformer juste avant t.
6.2 loi De sur vie : Forme ana ly tique
Dans le cas « continu », c’est àdire le cas où l’on dis pose de la loi de sur vie sous
forme ana ly tique (par ex. v(t) 5 e
2 lt
) on a les défi ni tions et résul tats sui vants :
• la durée de vie est une variable aléa toire T, repré sen tant le temps écoulé depuis la
mise en ser vice jus qu’à la défaillance de l’équi pe ment. Si l’on pose :
v(t) 5 Pr 5T > t6,
v(t) est la pro ba bi lité pour que l’équi pe ment accom plisse sans défaillance des fonc
tions déter mi nées pen dant le temps donné t : pour cette rai son, cette pro ba bi lité prend
le nom de fia bi lité, car elle carac té rise le degré de confiance que l’on peut accor der
au maté riel (ce degré est décrois sant, évi dem ment, avec t).
• À la mor ta lité rela tive, cal cu lée dans le cas dis cret, cor res pond ici la den sité de
pro ba bi lité i(t), telle que :
i(t) dt 5 Pr 5t < T , t 1 dt6 5 Pr 5T , t 1 dt6 2 Pr 5T , t6, d’où :
i(t) dt 5 31 2 v(t 1 dt) 4 2 31 2 v(t) 4
repré sente la pro ba bi lité de défaillance entre t et t 1 dt ;
On remarque ainsi que :
i(t) # dt 5 2dv (t) et que : i(t) 5 2
d
dt
v(t) 5 2v r(t).
Notons que : 1 2 v(t) 5 3
t
0
i(u) du.
• À la pro ba bi lité d’ava rie p c (t) du cas « dis cret », cor res pond, dans le cas « continu »
la pro ba bi lité condi tion nelle l 1 t 2 # dt, pour qu’un équi pe ment d’âge t, subisse une
défaillance entre t et t 1 dt ; en effet :
Pr 5t < T , t 1 dt6 5 Pr5T > t6 # l(t) # dt, soit i(t) # dt 5 2v (t) # l(t) # dt, d’où :
l(t) 5
i(t)
v(t)
5 2
vr(t)
v(t)
.
Figure 6.4
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
Ces remarques per mettent d’affir mer que, dans
le pre mier cas (celui de la figure 6.3) on a affaire à
des pièces dites « de fatigue », dont la pro ba bi lité
d’ava rie est constante ; dans ces condi tions, il n’y a
aucun inté rêt à pra ti quer un entre tien pré ven tif sur ce
genre de maté riel, puisqu’une pièce neuve pré sente la
même fra gi lité qu’une pièce usa gée, comme nous le
ver rons plus loin.
Dans le second cas (figure 6.4), on a, au contraire,
affaire à des pièces consti tuant un lot par fai te ment
homo gène ; les maté riels dont la courbe de sur vie
affecte une forme presque rec tan gu laire sont des pièces
« d’usure ». Il y a intérêt à les réformer juste avant t.
6.2 loi De sur vie : Forme ana ly tique
Dans le cas « continu », c’est àdire le cas où l’on dis pose de la loi de sur vie sous
forme ana ly tique (par ex. v(t) 5 e
2 lt
) on a les défi ni tions et résul tats sui vants :
• la durée de vie est une variable aléa toire T, repré sen tant le temps écoulé depuis la
mise en ser vice jus qu’à la défaillance de l’équi pe ment. Si l’on pose :
v(t) 5 Pr 5T > t6,
v(t) est la pro ba bi lité pour que l’équi pe ment accom plisse sans défaillance des fonc
tions déter mi nées pen dant le temps donné t : pour cette rai son, cette pro ba bi lité prend
le nom de fia bi lité, car elle carac té rise le degré de confiance que l’on peut accor der
au maté riel (ce degré est décrois sant, évi dem ment, avec t).
• À la mor ta lité rela tive, cal cu lée dans le cas dis cret, cor res pond ici la den sité de
pro ba bi lité i(t), telle que :
i(t) dt 5 Pr 5t < T , t 1 dt6 5 Pr 5T , t 1 dt6 2 Pr 5T , t6, d’où :
i(t) dt 5 31 2 v(t 1 dt) 4 2 31 2 v(t) 4
repré sente la pro ba bi lité de défaillance entre t et t 1 dt ;
On remarque ainsi que :
i(t) # dt 5 2dv (t) et que : i(t) 5 2
d
dt
v(t) 5 2v r(t).
Notons que : 1 2 v(t) 5 3
t
0
i(u) du.
• À la pro ba bi lité d’ava rie p c (t) du cas « dis cret », cor res pond, dans le cas « continu »
la pro ba bi lité condi tion nelle l 1 t 2 # dt, pour qu’un équi pe ment d’âge t, subisse une
défaillance entre t et t 1 dt ; en effet :
Pr 5t < T , t 1 dt6 5 Pr5T > t6 # l(t) # dt, soit i(t) # dt 5 2v (t) # l(t) # dt, d’où :
l(t) 5
i(t)
v(t)
5 2
vr(t)
v(t)
.
Figure 6.4